PAC
PAC · 5 de noviembre de 2025
▶Corrección en vídeo: ejercicios 1, 2 y 5Moda, mediana y mediaFrecuencias acumuladasHistogramaCV y tipificarChebyshevTallo y hojas y box-plotRegresiónTabla de doble entrada
📊 La asignatura
ADE · Universitat de Barcelona
Todo lo que tienes que saber de ESTADÍSTICA I
Asignatura de 2.º curso del Grado en Administración y Dirección de Empresas (ADE) de la Universitat de Barcelona.
📊
Temas 1 a 4
Estadística descriptiva
- Concepto y contenido de la estadística
- Distribuciones de frecuencias y gráficos
- Medidas de síntesis
- Distribuciones bidimensionales
🎲
Temas 5 a 7
Probabilidad
- Teoría de la probabilidad
- Variable aleatoria
- Distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson, exponencial y normal
🎓
6 ECTS
Formación básica · 150 h
📅
2.º curso
Primer semestre
📚
7 temas
4 de descriptiva y 3 de probabilidad
✅
Examen final
Tipo test, de opción múltiple
Temas, créditos y curso según el plan docente oficial de la UB, curso 2026-27 (código 363647).
📖 Temario
4 de estadística descriptiva (1.er parcial) y 3 de probabilidad (2.º parcial). Pulsa un tema para ver qué entra y qué suele salir en el examen final.
📊Tema 1Concepto y contenido de la estadística
📚 Qué entra
- Estadística descriptiva e inferencia estadística
- Población y muestra
- Clasificación de los datos
- Introducción a R-Commander
📝 En el examen final
Población y muestraTipos de variables💻 Salidas de R-Commander
📊Tema 2Distribuciones de frecuencias y gráficos
📚 Qué entra
- Distribuciones de frecuencias
- Representaciones gráficas
📝 En el examen final
Tablas de frecuenciasGráfico de frecuencias acumuladasDiagrama de tallo y hojas💻 Salidas de R-Commander
📊Tema 3Medidas de síntesis
📚 Qué entra
- Medidas de posición
- Medidas de dispersión
- Medidas de forma
📝 En el examen final
Box-plotCoeficiente de variaciónAsimetríaMedia y desviación tras un cambio de variable💻 Salidas de R-Commander
📊Tema 4Distribuciones bidimensionales
📚 Qué entra
- Distribuciones conjuntas. Independencia estadística
- Medidas de asociación. Covarianza y correlación
- Regresión lineal
📝 En el examen final
Tablas de doble entradaCovarianza y correlaciónRecta de regresión💻 Salidas de R-Commander
🎲Tema 5Teoría de la probabilidad
📚 Qué entra
- Experimento aleatorio. Axiomática y propiedades
- Probabilidad condicionada
- Teorema de la intersección. Independencia
- Probabilidad total y teorema de Bayes
📝 En el examen final
Probabilidad de la uniónProbabilidad condicionadaSucesos independientesTeorema de Bayes
🎲Tema 6Variable aleatoria
📚 Qué entra
- Variables aleatorias discretas y continuas
- Función de cuantía y de densidad
- Función de distribución
- Esperanza matemática y varianza
📝 En el examen final
Función de cuantía y de densidadFunción de distribuciónEsperanza y varianzaCambio de variable Y = a + bX
🎲Tema 7Distribuciones de probabilidad
📚 Qué entra
- Discretas: Bernoulli, binomial y Poisson
- Continuas: exponencial y normal
- Convergencia: teorema central del límite
📝 En el examen final
BinomialPoissonUniformeNormal y tipificaciónSumas de muchas variables (TCL)
⚖️ Cómo se evalúa
Evaluación continuada 40 % actividades60 % examen final Mínimo el 80 % de las actividades y un 3 en el final
- Actividades del curso (40 %): pruebas presenciales y cuestionarios en línea del Campus Virtual. Las fechas se anuncian al empezar el curso.
- Examen final (60 %): preguntas de opción múltiple, teóricas y prácticas, en la fecha que fija el Consell d’Estudis.
- Requisitos: hacer como mínimo el 80 % de las actividades y sacar al menos un 3 en el examen final. Si no se cumplen, se pasa automáticamente a la evaluación única.
- Reevaluación: si no apruebas, hay una prueba conjunta de opción múltiple para todos.
Evaluación única 100 % examen final Un solo examen tipo test de todo el temario
- Para quien no sigue la evaluación continuada.
- Un único examen final de opción múltiple, teórico y práctico, que entra todo el temario, en el periodo oficial de exámenes.
- Reevaluación: prueba conjunta de opción múltiple para quien no apruebe. No se hacen exámenes fuera de las convocatorias oficiales.
📅 Fechas de examen · curso 2026-27
1.ª convocatoria · examen final
12enero
2027
2027
Martes
- 9:00 a 12:00 · grupos A1, A2, A3, A4, A6 y D1
- 18:00 a 21:00 · grupos B1, B2, C1, C2 e Y1
2.ª convocatoria · reevaluación
2febrero
2027
2027
Martes
- 9:00 a 12:00 · todos los grupos
Fuente: calendario oficial de exámenes de ADE de la UB. Comprueba el aula y cualquier cambio en el Campus Virtual.
📝 Formato de los exámenes
✏️ Pruebas parciales
Suelen ser ejercicios de desarrollo con varios apartados, más largos que las preguntas del final, en los que hay que calcular, justificar y comentar.
Suele salir:Tablas de frecuencias e histogramaMedia, mediana, moda y percentilesBox-plotTablas de doble entrada e independenciaCovarianza, correlación y regresión
✅ Examen final · tipo test
18preguntas, normalmente
4opciones por pregunta
1 a 7entran todos los temas
60 %de la nota (100 % en evaluación única)
🧮
Sobre todo ejercicios prácticos, pero hay que saber bien la teoría.
📋
Tablas o calculadora: con la calculadora irás más rápido.
🔗
Enunciados compartidos: una tabla, un gráfico o una salida de R para varias preguntas.
⚠️
Opciones trampa: algunas son resultados intermedios.
Nuestra opinión: asignatura de dificultad media.
Suele salir:Tallo y hojasBox-plotDistribuciones conjuntasSalidas de RProbabilidadVariable aleatoriaNormal
150 h en total45 h clases teórico-prácticas15 h prácticas con R-Commander40 h trabajo dirigido50 h estudio autónomo
🧭 Qué vas a encontrar en esta guía
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Curso completo en Academia Nova: teoría, ejercicios y exámenes resueltos.
Los 7 temas de ESTADÍSTICA I
Temario oficial del plan docente 2026-27. Elige un tema para ver qué entra, su formulario y preguntas de examen resueltas.
Estadística descriptiva Temas 1 a 4
Probabilidad Temas 5 a 7
1
Tema 1
Concepto y contenido de la estadística
Qué entra según el plan docente
- 1.1Estadística descriptiva e inferencia estadística
- 1.2Población y muestra
- 1.3Clasificación de los datos
- 1.4Introducción a R-Commander
La idea del tema
Es un tema de introducción con muy poco cálculo: aprenderás el vocabulario que se usa en toda la asignatura y a reconocer con qué tipo de datos trabajas, porque de eso depende qué tabla, qué gráfico y qué medida puedes usar después.
📖 Lo que tienes que saber
Tema de conceptos, casi sin fórmulas.
📋
Formulario del Tema 1 en PDFConcepto y contenido de la estadística · 5 páginas · plantilla Academia Nova
1.1Estadística descriptiva e inferencia
EstadísticaRecoge, analiza, presenta e interpreta datos para tomar decisiones con menos incertidumbre (empresa, economía, política…)
Estadística descriptivaResume y describe la muestra con tablas, gráficos y medidasTemas 1 a 4
Teoría de la probabilidadEstudia los fenómenos aleatorios y mide el margen de errorTemas 5 a 7
Inferencia estadísticaDe la muestra saca conclusiones sobre la poblaciónEstadística II
💡 Análisis exploratorio: además de describir, busca patrones en los datos y plantea hipótesis sobre la población
1.2Población y muestra
PoblaciónTodos los elementos (personas, empresas, productos…) en los que se estudia una característicaFinita o infinita: todas las unidades que fabricará una máquina
MuestraParte representativa de la población, de tamaño \(n\)Cuando la población es muy grande o infinita
Individuo (unidad estadística)Cada elemento de la población o de la muestra
Variable (carácter estadístico)Característica de los individuos que se estudiaEdad, salario, estado civil…
Valores y modalidadesLo que puede tomar la variable: números (0 a 10) o modalidades (Sí / No)
DatosLas observaciones de la variable en la población o en la muestra
Parámetros (población)\(\mu \quad \sigma \quad p\)Valores fijos de la población
Estimadores (muestra)\(\bar{x} \quad S \quad \hat{p}\)Se calculan con los datos de la muestra
1.3Clasificación de los datos
Variable cualitativaExpresa una cualidad: sus valores son categorías
Variable cuantitativaSe mide con números que son cantidades
VARIABLESsegún su tipo
Cualitativasuna cualidad (atributo)
Nominales: no se pueden ordenarEj.: estado civil, color, DNI, teléfono
Ordinales: se pueden ordenarEj.: clase social (baja, media, alta), notas
Cuantitativasnúmeros que son cantidades
Discretas: valores concretos, sin intermediosEj.: n.º de hijos (1, 2, 3, nunca 3,45)
Continuas: cualquier valor de un intervaloEj.: peso, altura, salario, tiempo
VARIABLESsegún cuántas características
Unidimensionales: una característicaEj.: edad
Bidimensionales: dos características del mismo individuoEj.: edad y altura · Tema 4
Multidimensionales: tres o más característicasEj.: edad, altura y peso
⚠️ Ojo: un DNI o un teléfono son números, pero son variables cualitativas nominales: no se opera con ellos.
💡 Frecuencias acumuladas, mediana y cuartiles: solo si los datos se pueden ordenar (ordinales y cuantitativas).
1.4Introducción a R-Commander
Variable numérica = cuantitativa
Resumen numérico media, desviación, cuartiles, asimetría
Estadísticos›Resúmenes›Resúmenes numéricos...
Gráficas
Gráficas›Histograma...oDiagrama de caja...oGráfica de tallos y hojas...
Factor = cualitativaSus modalidades se llaman «niveles»
Tabla de frecuencias absolutas y en %
Estadísticos›Resúmenes›Distribución de frecuencias...
Gráficas
Gráficas›Gráfica de barras...oGráfica de sectores...
Dos factores a la vez
Estadísticos›Tablas de contingencia›Tabla de doble entrada...
Comprobar y cambiar el tipo de una variable
Ver si es numérica o factor
Estadísticos›Resúmenes›Conjunto de datos activo
Convertir una variable numérica en factor
Paso a paso: apartado 2 de la pestaña R-CommanderDatos›Modificar variables del conjunto de datos activo›Convertir variable numérica en factor...
Ejemplo con un factor · número de hijos de 200 familias
Estadísticos›Resúmenes›Distribución de frecuencias...
R Commander · Salida
counts: Hijos 0 1 2 3 74 66 49 11 percentages: Hijos 0 1 2 3 37.0 33.0 24.5 5.5
countsFrecuencias absolutas \(n_i\)Cuántas familias tienen 0, 1, 2 o 3 hijos
percentagesFrecuencias relativas en %: \(100\cdot f_i\)Suman 100
Ejemplo con una variable numérica · PIB per cápita de 35 países
Hijos: datos de la PAC del 5-11-2025 (ejercicio 6), con 200 familias. PIB: muestra de primer parcial. Gráficas obtenidas con R.
Ejemplo de salida · resúmenes numéricos
Estadísticos›Resúmenes›Resúmenes numéricos...
R Commander · Salida
mean sd var IQR skewness 0% 25% 50% 100% n X1 4.948111 2.881498 8.303029 4.787025 -0.04779646 0.0125 2.584900 5.09170 9.9969 100
mean = mediasd = desviación típicavar = varianzaIQR = \(Q_3-Q_1\)skewness = asimetría0% 25% 50% 100% = mínimo, cuartiles y máximon = tamaño de la muestraSalida del ejercicio 4 de la PAC-1 del 8-11-2024 (grupo A3).
💡 En el examen no se usa el ordenador, pero hay que saber leer las salidas. Todos los menús, en la pestaña R-Commander
Cómo aparece el Tema 1
En los exámenes que tenemos (6 pruebas del primer parcial y 7 finales de 2023 a 2026) el Tema 1 no sale como pregunta propia, pero está detrás de muchas.
Saber qué tipo de variable es
En una pregunta de teoría del final de enero de 2025, una de las opciones dice que la correlación mide la asociación lineal entre variables cualitativas: es falsa, porque se calcula con variables cuantitativas.
Leer una salida de R-Commander
En la PAC-1 de noviembre de 2024 se da la tabla de numSummary de cuatro grupos y hay que interpretarla.
Población y muestra
Los enunciados hablan siempre de una muestra de tamaño n («una muestra de 200 conductores»): ese n es el que usarás en las fórmulas.
2
Tema 2
Distribuciones de frecuencias y representaciones gráficas
Qué entra según el plan docente
- 2.1Distribuciones de frecuencias
- 2.2Representaciones gráficas
La idea del tema
Con una lista de datos no se ve nada. Aquí aprendes a ordenarlos en una tabla de frecuencias (con valores sueltos o agrupados en intervalos) y a elegir el gráfico adecuado. Es la base de todo el primer parcial: casi todos los ejercicios empiezan con una tabla.
📊 Tablas de frecuencias y gráficos
\(x_i\) valores · \(n_i\) frecuencias absolutas · \(f_i\) relativas · mayúsculas = acumuladas.
📋
Formulario del Tema 2 en PDFDistribuciones de frecuencias y gráficos · 3 páginas · plantilla Academia Nova
2.1Tabla de frecuencias · datos sin agrupar
Frecuencia absoluta\(n_i \qquad \sum n_i = n\)
Frecuencia relativa\(f_i = \dfrac{n_i}{n} \qquad \sum f_i = 1\)
Absoluta acumulada\(N_i = n_1 + \dots + n_i\)La última es \(n\)
Relativa acumulada\(F_i = \dfrac{N_i}{n}\)La última es 1
| \(x_i\) (edad) | \(n_i\) | \(f_i\) | \(N_i\) | \(F_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 17 | 20 | 0,20 | 20 | 0,20 |
| 18 | 30 | 0,30 | 50 | 0,50 |
| 19 | 29 | 0,29 | 79 | 0,79 |
| 21 | 20 | 0,20 | 99 | 0,99 |
| 42 | 1 | 0,01 | 100 | 1 |
| Total | \(n = 100\) | 1 |
Edad de 100 universitarios (clase de Nova). \(N_3 = 79\): 79 personas con 19 años o menos.
💡 De acumuladas a simples: \(f_i = F_i - F_{i-1}\) · \(n_i = f_i \cdot n\)
2.1Tabla de frecuencias · datos agrupados
Intervalo\((L_{i-1},\ L_i]\)Abierto por la izquierda, cerrado por la derecha
Marca de clase\(c_i = \dfrac{L_{i-1} + L_i}{2}\)
Amplitud\(a_i = L_i - L_{i-1}\)
Densidad (altura del histograma)\(h_i = d_i = \dfrac{n_i}{a_i}\)Si las amplitudes son distintas
⚠️ Ojo: en el histograma la frecuencia es el área del rectángulo, no la altura
2.2Qué gráfico usar
Cualitativos y discretos
Diagrama de barras
Altura \(n_i\) o \(f_i\). Uniendo las barras: polígono de frecuencias.
Cualitativos
Diagrama de sectores
Ángulo proporcional al porcentaje.
Discretos · acumuladas
Diagrama en escalera
Escalones en \((x_i, N_i)\) o \((x_i, F_i)\), hasta \(n\) o 1.
Agrupados
Histograma y polígono
Área = frecuencia. Polígono: une las marcas de clase.
Agrupados · acumuladas
Ojiva (polígono acumulado)
Une \((L_i, F_i)\) desde \((L_0, 0)\) con rectas.
Cuantitativos
Tallo y hojas
Histograma tumbado que conserva los valores.
2.2Diagrama de tallo y hojas
ni Tallo Hojas 5 3 22244 10 3 5555777789 15 4 001222222233333 10 4 5555577899 5 5 00111 Unidad de las hojas: 1 3|2 = 32
Leer un dato\(3|2 = 32\)Mira siempre la unidad de la hoja: con 0,1, \(9|5 = 9{,}5\)
Tallos repetidos* hojas de 0 a 4 · . hojas de 5 a 9
Profundidad (R-Commander)Acumulado desde el extremo más cercano(26): fila de la mediana y sus hojas
TotalN.º de hojas \(= n\)
Cómo aparece el Tema 2
En el primer parcial casi todos los problemas empiezan con una tabla. En el final sale en preguntas tipo test de leer gráficos.
Completar la tabla
Te dan la tabla incompleta, a veces solo con acumuladas o con un dato suelto (un decil, un porcentaje) y hay que rellenarla. Por ejemplo, en la PAC del 5-11-2025.
Dibujar el gráfico
El histograma se pide en 4 de las 6 pruebas del primer parcial que tenemos, y el gráfico de frecuencias acumuladas en 2. Suele ir con un comentario de la asimetría (Tema 3).
Leer un gráfico en el final
En los finales de 2023 y 2026 hay preguntas de leer un tallo y hojas o un polígono de frecuencias acumuladas.
Final · 11-1-2023 · Pregunta 13Diagrama de tallo y hojas del número de pasajeros en 150 vuelos (leaf unit: 1).
1 24* 4 5 24. 6789 15 25* 0123333344 29 25. 66778888999999 53 26* 000001111112222333344444 (26) 26. 55555566666777778888999999 71 27* 00000011111222223333344444 45 27. 55556666777788889999 25 28* 000000001234 13 28. 55667899 5 29* 0011 1 29. 5
El porcentaje de vuelos con 280 o menos pasajeros es:
(A) 76,67 %(B) 92,00 %(C) 18,00 %(D) 88,67 %
Ver la solución
Datos
150 vuelosLeaf unit: 1Fila 28*: 00000000 1234
- Contar desde abajo los que tienen más de 280En la fila 28* ocho hojas son 280 y cuatro (281 a 284) lo superan.Más de 280: \(4 + 8 + 4 + 1 = 17\) vuelos (281–284, fila 28., fila 29* y fila 29.)
- Los que tienen 280 o menos\(150 - 17 = 133\)\(\dfrac{133}{150} = 0{,}8867\)
✓ Respuesta (D) · 88,67 %
Final · 12-1-2026 · Pregunta 12Un polígono de frecuencias relativas acumuladas del tiempo de envasado (en minutos) de 200 productos marca \(F(140) = 0{,}19\) y \(F(160) = 0{,}415\). Podemos afirmar que:
(A) Hay unos 117 productos que se han envasado en 160 minutos.
(B) Hay unos 43 productos que se han envasado entre 140 y 160 minutos.
(C) El 58,5 % se han envasado como mínimo en 160 minutos.
(D) Hay unos 74 productos que se han envasado en menos de 160 minutos.
Ver la solución
Datos
\(n = 200\)\(F(140) = 0{,}19\)\(F(160) = 0{,}415\)
- Qué da la ojiva\(F(x)\): proporción de productos con un tiempo menor o igual que \(x\).
- Como mínimo 160 minutos\(1 - F(160) = 1 - 0{,}415 = 0{,}585\)58,5 %: la (C) es cierta.
- (B) Entre 140 y 160: \((0{,}415 - 0{,}19) \cdot 200 = 45\), no 43.
- (D) Menos de 160: \(0{,}415 \cdot 200 = 83\), no 74.
- (A) El tiempo es continuo: no tiene sentido «exactamente 160». 117 es justamente el 58,5 % de 200.
✓ Respuesta (C)
3
Tema 3
Medidas de síntesis
Qué entra según el plan docente
- 3.1Medidas de posición
- 3.2Medidas de dispersión
- 3.3Medidas de forma
La idea del tema
Resumir toda una distribución en unos pocos números: dónde está el centro (media, mediana, moda), cómo se reparten los datos (cuartiles), cuánto se dispersan (varianza, desviación, CV) y qué forma tienen (asimetría y curtosis). Es el tema que más pesa del primer parcial y sale en casi todas las preguntas.
🎯 Medidas de posición
\(x_i\) valores o marcas de clase · \(n_i\) frecuencias · \(N_i\) acumuladas · \(L_{i-1}\) límite inferior · \(a_i\) amplitud.
3.1Media aritmética
Datos sueltos\(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}\)
Tabla de frecuencias\(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i\, n_i}{n}\)Agrupados: con marcas de clase
Media de varios grupos\(\bar{x} = \dfrac{\bar{x}_A n_A + \bar{x}_B n_B}{n_A + n_B}\)
💡 Sensible a los valores extremos · \(\sum (x_i - \bar{x})\, n_i = 0\)
3.1Mediana
Sin agrupar · n impar\(Me = x_{(n+1)/2}\)Datos ordenados
Sin agrupar · n par\(Me = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}\)
Tabla de frecuenciasPrimer valor con \(N_i \ge \dfrac{n}{2}\)
Datos agrupados\(Me = L_{i-1} + \dfrac{\frac{n}{2} - N_{i-1}}{n_i}\, a_i\)Intervalo: el primero con \(N_i \ge n/2\)
3.1Cuartiles, deciles y percentiles
Datos agrupados\(C_k = L_{i-1} + \dfrac{k\,n - N_{i-1}}{n_i}\, a_i\)Intervalo: el primero con \(N_i \ge k\,n\)
Cuartiles\(Q_1,\ Q_2 = Me,\ Q_3\)\(k = 0{,}25 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}75\)
Deciles y percentiles\(D_j:\ k = \dfrac{j}{10} \qquad P_j:\ k = \dfrac{j}{100}\)
💡 «Mínimo para estar en el 25 % con más» \(= Q_3\) · «Máximo del 15 % con menos» \(= P_{15}\)
3.1Moda
Densidad del intervalo\(h_i = d_i = \dfrac{n_i}{a_i}\)
Datos agrupados\(Mo = L_{i-1} + \dfrac{h_{i+1}}{h_{i-1} + h_{i+1}}\, a_i\)Intervalo modal: el de mayor \(h_i\)
💡 Si todas las amplitudes son iguales, basta con mirar \(n_i\) · Única medida para variables nominales
↔️ Medidas de dispersión
3.2Varianza, desviación y coeficiente de variación
Varianza\(S^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2\, n_i}{n-1}\)Entre \(n-1\), como en R-Commander
Para calcular más rápido\(S^2 = \dfrac{\sum x_i^2\, n_i - n\,\bar{x}^2}{n-1}\)
Desviación típica\(S = \sqrt{S^2}\)
Coeficiente de variación\(CV = \dfrac{S}{|\bar{x}|}\)Sin unidades · menor CV = media más representativa
ChebyshevEn \(\bar{x} \pm k\,S\) hay al menos \(1 - \dfrac{1}{k^2}\) de los datos\(k = 2\): 75 % · \(k = 3\): 89 %
3.2Rango, rango intercuartílico y box-plot
Rango\(R = x_{máx} - x_{mín}\)
Rango intercuartílico\(RIC = Q_3 - Q_1\)
AtípicosFuera de \(Q_1 - 1{,}5\,RIC\) y \(Q_3 + 1{,}5\,RIC\)Extremos: con \(3\,RIC\)
Datos en cada tramo\(0{,}25 \cdot n\)
3.2Variable tipificada
Tipificar\(z_i = \dfrac{x_i - \bar{x}}{S}\)
Propiedades\(\bar{z} = 0 \qquad S_z = 1\)Sin unidades
Para qué sirveComparar la posición en grupos distintos«Más es mejor»: gana el \(z\) más alto
💡 Si «menos es mejor» (tiempos, costes), gana el \(z\) más bajo · No compara dispersiones: para eso, el CV
〰️ Medidas de forma
3.3Asimetría
Pearson\(A_P = \dfrac{\bar{x} - Mo}{S} \approx \dfrac{3\,(\bar{x} - Me)}{S}\)
Fisher\(g_1 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^3\, n_i / n}{S^3}\)
Cómo leer el signo\(> 0\) positiva · \(= 0\) simétrica · \(< 0\) negativaRápido: compara \(\bar{x}\) con \(Me\)
3.3Curtosis (apuntamiento)
Fisher\(g_2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^4\, n_i / n}{S^4} - 3\)
Cómo leer el signo\(> 0\) leptocúrtica · \(= 0\) mesocúrtica · \(< 0\) platicúrticaSolo si se parece a una normal
🔁 Transformaciones lineales
3.2Cambio de origen y escala: \(Y = a + b\,X\)
Media, mediana, moda, cuantiles\(\bar{y} = a + b\,\bar{x}\)
Varianza\(S_Y^2 = b^2\, S_X^2\)No le afecta \(a\)
Desviación, rango, RIC\(S_Y = |b|\, S_X\)No le afecta \(a\)
Coeficiente de variaciónCambia si \(a \ne 0\)Igual si solo hay escala
Tipificada\(z\) no cambiaCon \(b > 0\)
💡 +20 % es \(b = 1{,}2\) · −18 % es \(b = 0{,}82\)
Cómo aparece el Tema 3
Es el tema con más preguntas, en los parciales y en el final. Lo que más se repite en los exámenes que tenemos:
En la PAC
Calcular media, mediana, moda y cuantiles con datos agrupados, el CV para comparar dispersiones, si un dato es atípico y comentar la asimetría.
En el final
Cambio de origen y escala, leer un box-plot, comparar posiciones con la tipificada, el CV y teoría de verdadero/falso sobre las propiedades de cada medida.
Las trampas típicas
Que el RIC «sea igual a 400 pisos» (va en euros, no en pisos), que el CV no cambie con un cambio de origen (sí cambia) o que la tipificada sirva para comparar dispersiones (no).
Final · 10-1-2025 · Pregunta 1Una máquina llena latas con 330 ml de media y desviación estándar 25 ml. Se ajusta para que la cantidad se reduzca un 18 % y a lo que resulta se le añaden 5 ml. La nueva media y la nueva desviación son:
(A) 300,4 y 20,5(B) 300,4 y 22(C) 275,6 y 20,5(D) 275,6 y 22
Ver la solución
Datos
\(\bar{x} = 330\) ml\(S_X = 25\) ml
- Escribir el cambio de variableReducir un 18 % es multiplicar por 0,82, y luego se suman 5: \(Y = 0{,}82\,X + 5\)
- Nueva media\(\bar{y} = 0{,}82 \cdot 330 + 5 = 275{,}6\) ml
- Nueva desviación (sumar 5 no cambia la dispersión)\(S_Y = 0{,}82 \cdot 25 = 20{,}5\) ml
✓ Respuesta (C) · 275,6 y 20,5
Final · 10-1-2025 · Pregunta 5 (cuestionario 77)Un participante saca 30 puntos en montaña (media 35, desviación 6) y 25 en natación (media 30, desviación 12). Respecto a su posición relativa:
(A) Peor posición relativa en montaña.(B) Peor posición relativa en natación.(C) La misma en las dos pruebas.(D) No se puede saber sin el número de participantes.
Ver la solución
Datos
Montaña: 30 puntos, media 35, desviación 6Natación: 25 puntos, media 30, desviación 12
- Tipificar cada puntuación\(z_{montaña} = \dfrac{30 - 35}{6} = -0{,}833\)\(z_{natación} = \dfrac{25 - 30}{12} = -0{,}417\)
- CompararEn las dos está por debajo de la media, pero en montaña está más lejos: peor posición en montaña.
- (D) El número de participantes no hace falta.
✓ Respuesta (A)
Final · 10-1-2025 · Pregunta 2El box-plot del precio semanal de 500 pisos turísticos marca: mínimo 600, \(Q_1 = 1000\), mediana 1200, \(Q_3 = 1400\) y máximo 2000 €. Podemos afirmar que:
(A) Presenta asimetría negativa.(B) 250 pisos cuestan 1200 €.(C) El rango intercuartílico es igual a 400 pisos.(D) Hay 375 pisos con un precio mínimo de 1000 €.
Ver la solución
Datos
Mínimo 600\(Q_1 = 1000\)Mediana 1200\(Q_3 = 1400\)Máximo 2000500 pisos
- Por encima de \(Q_1\) está el 75 %\(0{,}75 \cdot 500 = 375\) pisos: la (D) es cierta.
- (A) Las dos mitades de la caja miden 200, pero el bigote derecho (600) es más largo que el izquierdo (400): asimetría positiva.
- (B) Ningún precio exacto: la mediana deja 250 por debajo y 250 por encima.
- (C) \(RIC = 1400 - 1000 = 400\) €, no pisos.
✓ Respuesta (D)
Final · 10-1-2025 · Pregunta 11La población de la ciudad A es un tercio de la de B. El ingreso medio por habitante es de 6000 € en A y de 3000 € en B. El ingreso medio del total de habitantes de A y B es:
(A) 5400 €(B) 5250 €(C) 3750 €(D) 4600 €
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Datos
Ciudad A: \(p\) habitantes, 6000 €Ciudad B: \(3p\) habitantes, 3000 €
- Media ponderada por el tamaño de cada grupo\(\bar{x} = \dfrac{p \cdot 6000 + 3p \cdot 3000}{p + 3p}\)\(\bar{x} = \dfrac{15000\,p}{4\,p} = 3750\) €
✓ Respuesta (C) · 3750 €
4
Tema 4
Distribuciones de frecuencias bidimensionales
Qué entra según el plan docente
- 4.1Distribuciones conjuntas. Independencia estadística
- 4.2Medidas de asociación. Covarianza y correlación
- 4.3Regresión lineal
La idea del tema
Ahora se observan dos variables a la vez en cada individuo. Primero se ordenan en una tabla de doble entrada; después se mide si están relacionadas (covarianza y correlación) y, si lo están, se ajusta una recta de regresión para predecir una a partir de la otra.
🔗 Distribuciones conjuntas, marginales y condicionadas
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Formulario del Tema 4 en PDFDistribuciones bidimensionales · 3 páginas · plantilla Academia Nova
4.1La tabla de doble entrada
| \(X \backslash Y\) | \(y_1\) | \(\dots\) | \(y_j\) | Total |
|---|---|---|---|---|
| \(x_1\) | \(n_{11}\) | \(\dots\) | \(n_{1j}\) | \(n(x_1)\) |
| \(x_i\) | \(n_{i1}\) | \(\dots\) | \(n_{ij}\) | \(n(x_i)\) |
| Total | \(n(y_1)\) | \(\dots\) | \(n(y_j)\) | \(n\) |
Conjunta\(n_{ij} \qquad f_{ij} = \dfrac{n_{ij}}{n}\)\(X = x_i\) y \(Y = y_j\)
Marginal\(n(x_i)\) total de la fila · \(n(y_j)\) total de la columna
Condicionada\(f_{i/j} = \dfrac{n_{ij}}{n(y_j)}\)Se divide entre el total de la condición
💡 «El 20 % de la muestra…» → entre \(n\) · «De los que…» → entre el total de esa fila o columna
4.1Independencia estadística
En relativas\(f_{ij} = f(x_i) \cdot f(y_j)\)
Frecuencia esperada\(n_{ij} = \dfrac{n(x_i) \cdot n(y_j)}{n}\)
💡 Tiene que cumplirse en todas las casillas: si falla en una, no son independientes
📈 Covarianza y correlación
4.2Covarianza
Definición\(S_{XY} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}\)
Para calcular más rápido\(S_{XY} = \dfrac{\sum x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}}{n-1}\)
Signo\(> 0\) positiva · \(< 0\) negativa · \(= 0\) sin relación lineal
Cambio de origen y escala\(S_{X'Y'} = b\,d\,S_{XY}\)Con \(X' = a + bX\), \(Y' = c + dY\)
💡 Independientes ⇒ \(S_{XY} = 0\), pero \(S_{XY} = 0\) no implica independencia
4.2Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Correlación\(r_{XY} = \dfrac{S_{XY}}{S_X\, S_Y}\)
Rango\(-1 \le r_{XY} \le 1\)Sin unidades
Qué mideIntensidad y signo de la relación linealSolo variables cuantitativas
4.2Vector de medias y matrices
Vector de medias\(m = \begin{pmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{pmatrix}\)
Varianzas y covarianzas\(S = \begin{pmatrix} S_X^2 & S_{XY} \\ S_{XY} & S_Y^2 \end{pmatrix}\)
Correlaciones\(r = \begin{pmatrix} 1 & r_{XY} \\ r_{XY} & 1 \end{pmatrix}\)
💡 Con los sumatorios: primero medias, después varianzas y covarianza con las fórmulas rápidas, entre \(n-1\)
📉 Regresión lineal
4.3Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\)
Recta\(\hat{y} = a + b\,x\)\(X\) explica, \(Y\) se predice
Pendiente\(b = \dfrac{S_{XY}}{S_X^2}\)Mismo signo que \(S_{XY}\) y \(r\)
Ordenada en el origen\(a = \bar{y} - b\,\bar{x}\)Pasa por \((\bar{x}, \bar{y})\)
Predicción\(\hat{y}(x_0) = a + b\,x_0\)
Coef. de determinación\(R^2 = r^2 = \dfrac{S_{XY}^2}{S_X^2\, S_Y^2}\)De 0 a 1 · % de la variación de \(Y\) que explica la recta
💡 No confundas \(r\) con \(R^2\): si \(r = 0{,}86\), la recta explica el \(0{,}86^2 = 74\) %
Cómo aparece el Tema 4
En los finales que tenemos sale en varias preguntas tipo test; en el primer parcial, como problema largo con varios apartados.
Tabla de doble entrada
Porcentajes sobre el total o condicionados, y la frecuencia esperada si fueran independientes.
Medias, matrices y transformaciones
Vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas a partir de los sumatorios, y cómo cambian si se transforman las variables.
Recta y \(R^2\)
Ajustar la recta, hacer una predicción y decir qué porcentaje explica. También teoría: \(R^2\) no puede ser negativo, \(r\) solo mide relación lineal…
Final · 10-1-2025 · Preguntas 3 y 4Nivel de salario (\(X\)) y días de baja (\(Y\)) de los trabajadores de una empresa:
| \(X \backslash Y\) | 5–10 | 10–30 | 30–50 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Bajo | 15 | 25 | 10 | 50 |
| Medio | 10 | 8 | 7 | 25 |
| Alto | 5 | 7 | 3 | 15 |
| Total | 30 | 40 | 20 | 90 |
P3. ¿Cuál es FALSA?
(A) De los de salario medio, el 60 % están de baja como mínimo 10 días.(B) De los que están menos de 30 días, el 57,14 % tienen salario bajo.(C) El 45 % de la muestra tiene salario bajo y más de 10 días de baja.(D) El 20 % de la muestra tiene salario medio y menos de 30 días.
P4. Si fueran independientes, ¿qué porcentaje cabría esperar con salario medio y 30–50 días? (A) 5,55 % · (B) 35 % · (C) 28 % · (D) 6,17 %
Ver la solución
- Pregunta 3: comprobar cada opción(A) \(\dfrac{8+7}{25} = 60\) % ✓(B) \(\dfrac{15+25}{30+40} = 57{,}14\) % ✓(D) \(\dfrac{10+8}{90} = 20\) % ✓(C) \(\dfrac{25+10}{90} = 38{,}89\) %, no 45 %: es la falsa
- Pregunta 4: frecuencia esperada con independenciaProducto de las marginales: \(\dfrac{25}{90} \cdot \dfrac{20}{90} = 0{,}0617\)
- P4 (B) y (C) son frecuencias condicionadas observadas, no esperadas.
✓ P3: respuesta (C)
✓ P4: respuesta (D) · 6,17 %
Muestra · Primer parcial · Prueba A2_00 · Pregunta 1Edad (\(X\)) y saldo de puntos del carnet (\(Y\)) de 200 conductores: \(\sum Y_i = 2450\), \(\sum X_i = 8400\), \(\sum X_i Y_i = 99915\), \(\sum Y_i^2 = 31306\), \(\sum X_i^2 = 390610\).
1.1 Vector de medias, matriz de varianzas y covarianzas y matriz de correlaciones. 1.2 Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) y predicción para 35 años. 1.3 Porcentaje de la variación del saldo que explica la recta.
Ver la solución
Datos
\(n = 200\)\(\sum X_i = 8400\)\(\sum Y_i = 2450\)\(\sum X_i Y_i = 99915\)\(\sum X_i^2 = 390610\)\(\sum Y_i^2 = 31306\)
- 1.1 · Medias\(\bar{x} = \dfrac{8400}{200} = 42 \qquad \bar{y} = \dfrac{2450}{200} = 12{,}25\)
- 1.1 · Varianzas y covarianza (entre n − 1)\(S_X^2 = \dfrac{390610 - 200 \cdot 42^2}{199} = 190\)\(S_Y^2 = \dfrac{31306 - 200 \cdot 12{,}25^2}{199} = 6{,}5\)\(S_{XY} = \dfrac{99915 - 200 \cdot 42 \cdot 12{,}25}{199} = -15\)
- 1.1 · Correlación\(r = \dfrac{-15}{\sqrt{190 \cdot 6{,}5}} = -0{,}4268\): relación negativa y moderada-débil
- 1.2 · Recta de regresión\(b = \dfrac{S_{XY}}{S_X^2} = \dfrac{-15}{190} = -0{,}0789\)\(a = \bar{y} - b\,\bar{x} = 12{,}25 + 0{,}0789 \cdot 42 = 15{,}5658\)\(\hat{y} = 15{,}5658 - 0{,}0789\,x\). Para 35 años: \(12{,}80\) puntos
- 1.3 · Coeficiente de determinación\(R^2 = \dfrac{(-15)^2}{190 \cdot 6{,}5} = 0{,}1822\): la recta explica el 18,22 %
- Que salgan números exactos (190; 6,5; −15) confirma que se divide entre n − 1.
5
Tema 5
Teoría de la probabilidad
Qué entra según el plan docente
- 5.1Introducción a la probabilidad: experimento aleatorio. Axiomática y propiedades
- 5.2Probabilidad condicionada
- 5.3Teorema de la intersección. Independencia estadística
- 5.4Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
La idea del tema
Es la base de toda la segunda parte. Casi todo se resuelve con cuatro fórmulas: la de la unión, la condicionada, la de la probabilidad total y la de Bayes. Lo difícil no es calcular, sino traducir bien el enunciado a sucesos.
Formulario
Notación de la asignatura: \(E\) espacio muestral, \(\bar{A}\) complementario de \(A\) y \(P(A/B)\) probabilidad de \(A\) sabiendo que ha ocurrido \(B\).
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Formulario del Tema 5 en PDFTeoría de la probabilidad · 4 páginas · plantilla Academia Nova
5.1Sucesos, axiomas y propiedades
Unión: A o B\(A \cup B\)
Intersección: A y B\(A \cap B\)
Complementario: no A\(\bar{A}\)
Incompatibles\(A \cap B = \varnothing\)
De Morgan\(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\)
\(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\)
\(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\)
Axiomas\(P(A) \ge 0 \qquad P(E) = 1\)
Incompatibles: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Incompatibles: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Complementario\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
Unión de dos sucesos\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Regla de Laplace\(P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\)
Solo A (A y no B)\(P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)\)
Ninguno de los dos\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)\)
Unión de tres sucesos\(P(A\cup B\cup C) = \sum P(A) - \sum P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C)\)
5.2Probabilidad condicionada
Definición\(P(A/B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)},\ \ P(B) > 0\)
Complementario condicionado\(P(\bar{A}/B) = 1 - P(A/B)\)
Con una tabla de doble entrada\(P(A/B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)}\)
💡 \(P(A/B) \ne P(B/A)\): detrás de la barra va lo que ya sabes
5.3Teorema de la intersección e independencia
Teorema de la intersección\(P(A \cap B) = P(A)\,P(B/A)\)
Con tres sucesos\(P(A \cap B \cap C) = P(A)\,P(B/A)\,P(C/A \cap B)\)
Independientes\(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\)
\(\Leftrightarrow\ P(A/B) = P(A)\)
\(\Leftrightarrow\ P(A/B) = P(A)\)
Unión de independientes\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)\)
Al menos uno (independientes)\(P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A})\,P(\bar{B})\)
También son independientes\(\bar{A}\) y \(B\) · \(A\) y \(\bar{B}\) · \(\bar{A}\) y \(\bar{B}\)
💡 Incompatibles ≠ independientes
5.4Probabilidad total y teorema de Bayes
Sistema completo\(\sum P(A_i) = 1\)Incompatibles dos a dos
En el árbolSe multiplica por cada rama y se suman las que acaban en \(B\)
Probabilidad total\(P(B) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B/A_i)\)
Teorema de Bayes\(P(A_j/B) = \dfrac{P(A_j)\,P(B/A_j)}{P(B)}\)
💡 Bayes: «si ha ocurrido \(B\), ¿de qué \(A_j\) viene?»
💬Cómo traducir el enunciado
«o», «alguno», «al menos uno»\(A \cup B\)
«y», «ambos», «los dos»\(A \cap B\)
«ninguno»\(\bar{A} \cap \bar{B}\)
«si…», «sabiendo que…»\(P(\,\cdot\,/\text{lo que se sabe})\)
«no»\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
Cómo aparece el Tema 5
En 6 de los 7 finales que tenemos (2023 a 2026) hay al menos una pregunta de este tema. Lo que más se repite:
Probabilidad total y Bayes
Un enunciado con porcentajes por grupos (concesionarios, tipos de declaración…) y la pregunta «si ha pasado esto, ¿de qué grupo viene?».
Unión y condicionada
Con porcentajes o con una tabla de doble entrada: «alguno de los dos», «no tenga… o tenga…», «si le gusta A, que le guste B».
Las trampas típicas
Sumar sin restar la intersección, dar la probabilidad total \(P(B)\) en lugar de la de Bayes, y confundir incompatibles con independientes.
Final · 12-1-2026 · Pregunta 4 (cuestionario 44)Una empresa tiene 3 concesionarios: el 40 % de las ventas se hacen en Barcelona, el 30 % en Madrid y el resto en Sevilla. La probabilidad de que una venta no se cobre es 0,05 en Barcelona, 0,02 en Madrid y 0,03 en Sevilla. Si una operación resulta impagada, ¿qué probabilidad hay de que sea de Barcelona?
(A) 0,0350(B) 0,5714(C) 0,2571(D) 0,1714
Ver la solución
Datos
\(P(B) = 0{,}40\)\(P(M) = 0{,}30\)\(P(S) = 1 - 0{,}40 - 0{,}30 = 0{,}30\)\(P(I/B) = 0{,}05\)\(P(I/M) = 0{,}02\)\(P(I/S) = 0{,}03\)
- Probabilidad total de impago\(P(I) = P(B)\,P(I/B) + P(M)\,P(I/M) + P(S)\,P(I/S)\)\(P(I) = 0{,}40 \cdot 0{,}05 + 0{,}30 \cdot 0{,}02 + 0{,}30 \cdot 0{,}03\)\(P(I) = 0{,}020 + 0{,}006 + 0{,}009 = 0{,}035\)
- Teorema de Bayes\(P(B/I) = \dfrac{P(B)\,P(I/B)}{P(I)}\)\(P(B/I) = \dfrac{0{,}40 \cdot 0{,}05}{0{,}035} = \dfrac{0{,}020}{0{,}035} = 0{,}5714\)
- (A) 0,0350 es la probabilidad total de impago \(P(I)\), no la que se pide.
✓ Respuesta (B) · 0,5714
Final · 12-1-2026 · Pregunta 4 (cuestionario 22)El 40 % de los contribuyentes se hace la declaración del IRPF, el 20 % la encarga a un gestor y el resto confirma la de Hacienda, que no tiene errores. Tienen algún error el 10 % de las de gestoría y el 8 % de las del contribuyente. Si una declaración tiene un error, la probabilidad de que la haya hecho un gestor es:
(A) 0,3846(B) 0,6154(C) 0,0520(D) 0,9480
Ver la solución
Datos
\(P(C) = 0{,}40\)\(P(G) = 0{,}20\)\(P(H) = 0{,}40\)\(P(E/C) = 0{,}08\)\(P(E/G) = 0{,}10\)\(P(E/H) = 0\)
- Probabilidad total de error\(P(E) = P(C)\,P(E/C) + P(G)\,P(E/G) + P(H)\,P(E/H)\)\(P(E) = 0{,}40 \cdot 0{,}08 + 0{,}20 \cdot 0{,}10 + 0{,}40 \cdot 0\)\(P(E) = 0{,}032 + 0{,}020 + 0 = 0{,}052\)
- Teorema de Bayes\(P(G/E) = \dfrac{P(G)\,P(E/G)}{P(E)}\)\(P(G/E) = \dfrac{0{,}20 \cdot 0{,}10}{0{,}052} = \dfrac{0{,}020}{0{,}052} = 0{,}3846\)
- (B) 0,6154 es \(P(C/E)\): que la haya hecho el contribuyente.
- (C) 0,0520 es \(P(E)\), la probabilidad total de error.
- (D) 0,9480 es \(1 - P(E)\): que no tenga error.
✓ Respuesta (A) · 0,3846
Final · 11-1-2023 · Pregunta 10 (cuestionario 22)De 200 estudiantes universitarios: 60 tienen tarjeta de crédito y de ocio, 60 solo de crédito, 15 solo de ocio y 65 ninguna. Elegido uno al azar, ¿qué probabilidad hay de que no tenga tarjeta de crédito o tenga tarjeta de ocio?
(A) 0,675(B) 0,775(C) 0,450(D) 0,700
Ver la solución
Datos
Sin tarjeta de crédito: \(15 + 65 = 80\)Con tarjeta de ocio: \(60 + 15 = 75\)Las dos cosas: 15Total: 200
- Unión de sucesos\(P(NC \cup O) = P(NC) + P(O) - P(NC \cap O)\)
- Sustituir\(P(NC \cup O) = \dfrac{80}{200} + \dfrac{75}{200} - \dfrac{15}{200}\)\(P(NC \cup O) = \dfrac{140}{200} = 0{,}700\)
- Comprobar con el complementarioLo contrario es «crédito y no ocio»: \(1 - \dfrac{60}{200} = 1 - 0{,}30 = 0{,}70\)
- (B) 0,775 suma sin restar la intersección, que se cuenta dos veces.
✓ Respuesta (D) · 0,700
Final · 10-1-2024 · Pregunta 13 (cuestionario 44)Un 35 % de los socios de una asociación sigue al grupo musical A, un 30 % al grupo B y a un 15 % les gustan los dos. Si a un socio elegido al azar le gusta el grupo A, la probabilidad de que siga también al grupo B es:
(A) 30,1 %(B) 86,3 %(C) 23,5 %(D) 42,9 %
Ver la solución
Datos
\(P(A) = 0{,}35\)\(P(B) = 0{,}30\)\(P(A \cap B) = 0{,}15\)
- Se sabe que le gusta A: condicionada\(P(B/A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
- Sustituir\(P(B/A) = \dfrac{0{,}15}{0{,}35} = 0{,}4286 = 42{,}9\ \%\)
✓ Respuesta (D) · 42,9 %
Final · 10-1-2025 · Pregunta 7 (cuestionario 00)Un producto tiene dos componentes A y B que se fabrican de forma independiente. La probabilidad de defecto es 0,06 en A y 0,007 en B. La probabilidad de que alguno de los dos sea defectuoso es:
(A) 0,00042(B) 0,03342(C) 0,09958(D) 0,06658
Ver la solución
Datos
\(P(A) = 0{,}06\)\(P(B) = 0{,}007\)A y B independientes
- «Alguno de los dos» es la unión\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
- Con independencia\(P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}06 \cdot 0{,}007 = 0{,}00042\)
- Sustituir\(P(A \cup B) = 0{,}06 + 0{,}007 - 0{,}00042 = 0{,}06658\)
- (A) 0,00042 es la probabilidad de que fallen los dos.
✓ Respuesta (D) · 0,06658
Final · 12-1-2026 · Pregunta 13 (cuestionario 44)Dados dos sucesos A y B independientes con probabilidades no nulas, es cierto que:
(A) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)\)(B) \(P(A \cap B) = 1\)(C) \(P(A/B) = P(B)\)(D) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Ver la solución
- Definición de independencia\(P(A \cap B) = P(A)\,P(B) \iff P(A/B) = P(A)\)
- Se sustituye en la unión\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)\): la (A) es cierta.
- (B) \(P(A \cap B)\) solo valdría 1 si las dos probabilidades valen 1.
- (C) Con independencia \(P(A/B) = P(A)\), no \(P(B)\).
- (D) Solo es cierto si los sucesos son incompatibles.
✓ Respuesta (A)
6
Tema 6
Variable aleatoria
Qué entra según el plan docente
- 6.1Concepto de variable aleatoria: variables aleatorias discretas y continuas
- 6.2Distribución de probabilidad: función de cuantía y de densidad
- 6.3Función de distribución
- 6.4Características de una variable aleatoria: esperanza matemática y varianza
La idea del tema
Es como la estadística descriptiva del Tema 3, pero con probabilidades en lugar de frecuencias: la media pasa a ser la esperanza y la varianza se calcula igual. Sale en todos los finales, casi siempre con una tabla o una función y un cambio de variable (costes, beneficios).
Formulario
Notación de la asignatura: \(P(X = x_i) = p_i\) función de cuantía, \(f(x)\) función de densidad y \(F(x)\) función de distribución.
6.1Discreta o continua
Discreta: función de cuantía\(P(X = x_i) = p_i \ge 0 \qquad \sum p_i = 1\)
Continua: función de densidad\(f(x) \ge 0 \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\)
Discreta: probabilidad de un tramo\(P(a \le X \le b) = \sum_{a \le x_i \le b} p_i\)
Continua: probabilidad de un tramo\(P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx\)
💡 Discreta: \(P(X < 3) = P(X \le 2)\) · Continua: \(P(X = a) = 0\) · Constante \(k\): que todo sume 1
6.3Función de distribución
Definición\(F(x) = P(X \le x)\)
Propiedades\(0 \le F(x) \le 1\), no decreciente
\(F(-\infty) = 0 \quad F(+\infty) = 1\)
\(F(-\infty) = 0 \quad F(+\infty) = 1\)
Discreta\(F(x) = \sum_{x_i \le x} p_i\)
Continua\(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt \qquad f(x) = F'(x)\)
Por debajo\(P(X \le a) = F(a)\)
Por encima\(P(X > a) = 1 - F(a)\)
Entre dos valores\(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\)
Condicionada\(P(X < b \,/\, X > a) = \dfrac{F(b) - F(a)}{1 - F(a)}\)
Cuantil (mediana, percentiles)\(F(x_p) = p \qquad F(Me) = 0{,}5\)
💡 «El 30 % con mayor duración» → \(F(x) = 0{,}70\)
6.4Esperanza y varianza
Esperanza (discreta)\(E[X] = \mu = \sum x_i\,p_i\)
Esperanza (continua)\(E[X] = \mu = \int x\,f(x)\,dx\)
Momento de orden 2\(E[X^2] = \sum x_i^2\,p_i \qquad E[X^2] = \int x^2 f(x)\,dx\)
Varianza y desviación típica\(V(X) = E[X^2] - E[X]^2 \qquad \sigma = \sqrt{V(X)}\)
💡 Tabla: \(x_i \mid p_i \mid x_i\,p_i \mid x_i^2\,p_i\) → sumas \(E[X]\) y \(E[X^2]\)
6.4Cambio de variable \(Y = a + bX\)
Esperanza\(E[a + bX] = a + b\,E[X]\)
Varianza\(V(a + bX) = b^2\,V(X)\)
Desviación típica\(\sigma_{a + bX} = |b|\,\sigma_X\)
💡 Por unidad → \(b\) · Fijo → \(a\): \(B = 300\,X - 250\) · Lo fijo no cambia \(V\) ni \(\sigma\)
Cómo aparece el Tema 6
Sale en los 7 finales que tenemos (2023 a 2026), normalmente en dos o tres preguntas. Lo que más se repite:
Discreta con tabla
Una tabla o una función con una constante \(k\), y la pregunta por la esperanza y la desviación de un coste o un beneficio.
Continua con \(F(x)\)
Probabilidades condicionadas («si se sabe que ha sido superior a…») y percentiles («el 30 % que más dura»).
Las trampas típicas
Dar \(F(a)\) sin condicionar, multiplicar la varianza por \(b\) en lugar de \(b^2\) y confundir \(<\) con \(\le\) en una discreta.
Final · 12-1-2026 · Pregunta 1 (cuestionario 44)Una máquina puede tener entre 0 y 4 averías al mes. Cada avería cuesta 200 € más un coste fijo de 50 €. El número de averías \(X\) tiene esta distribución:\(x\) 0 1 2 3 4 \(P(x)\) 0,4 0,3 0,2 0,05 \(K\)
El coste esperado y su desviación típica son:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,05 | \(K\) |
(A) \(\mu = 260\) y \(\sigma = 223{,}38\)(B) \(\mu = 205\) y \(\sigma = 208{,}91\)(C) \(\mu = 260\) y \(\sigma = 208{,}91\)(D) \(\mu = 205\) y \(\sigma = 223{,}38\)
Ver la solución
- Calcular \(K\): las probabilidades suman 1\(0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}05 + K = 1 \Rightarrow K = 0{,}05\)
- Esperanza de \(X\)\(E[X] = \sum x_i\,p_i\)\(E[X] = 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}05 + 4 \cdot 0{,}05\)\(E[X] = 0 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}15 + 0{,}2 = 1{,}05\) averías
- Varianza de \(X\)\(E[X^2] = \sum x_i^2\,p_i\)\(E[X^2] = 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}2 + 9 \cdot 0{,}05 + 16 \cdot 0{,}05\)\(E[X^2] = 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}45 + 0{,}8 = 2{,}35\)\(V(X) = E[X^2] - E[X]^2\)\(V(X) = 2{,}35 - 1{,}05^2 = 1{,}2475\)
- Coste: \(C = 200\,X + 50\)\(E[C] = 200 \cdot 1{,}05 + 50 = 260\) €\(V(C) = 200^2 \cdot 1{,}2475 = 49900\)\(\sigma_C = \sqrt{49900} = 223{,}38\) €
- El coste fijo de 50 € mueve la media, pero no la desviación.
✓ Respuesta (A)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 1 (cuestionario 22)El número de contratos cerrados al día \(X\) tiene función de probabilidad \(P(X = x) = \dfrac{k\,x^2}{24}\) para \(x = 1, 2, 3, 4\). Si cada contrato da 300 € de ingreso y hay 250 € de costes fijos diarios, la media y la desviación típica de los beneficios son:
(A) \(\mu = 750{,}0\) € y \(\sigma = 207{,}5\) €(B) \(\mu = 533{,}3\) € y \(\sigma = 207{,}5\) €(C) \(\mu = 533{,}3\) € y \(\sigma = 249{,}0\) €(D) \(\mu = 750{,}0\) € y \(\sigma = 249{,}0\) €
Ver la solución
- Calcular \(k\)\(\dfrac{k\,(1 + 4 + 9 + 16)}{24} = 1 \Rightarrow \dfrac{30\,k}{24} = 1 \Rightarrow k = 0{,}8\)Queda \(P(X = x) = \dfrac{x^2}{30}\): \(\tfrac{1}{30},\ \tfrac{4}{30},\ \tfrac{9}{30},\ \tfrac{16}{30}\)
- Esperanza de \(X\)\(E[X] = \dfrac{1 + 8 + 27 + 64}{30} = \dfrac{100}{30} = 3{,}3333\)
- Desviación de \(X\)\(E[X^2] = \dfrac{1 + 16 + 81 + 256}{30} = \dfrac{354}{30} = 11{,}8\)\(V(X) = 11{,}8 - 3{,}3333^2 = 0{,}6889\)\(\sigma_X = \sqrt{0{,}6889} = 0{,}83\)
- Beneficio: \(B = 300\,X - 250\)\(E[B] = 300 \cdot 3{,}3333 - 250 = 750\) €\(\sigma_B = 300 \cdot 0{,}83 = 249{,}0\) €
✓ Respuesta (D)
Final · 10-1-2024 · Pregunta 17 (cuestionario 44)El número de pasajeros por viaje \(X\) en los microbuses de la línea 5 tiene esta distribución:\(x\) 10 11 12 13 \(P(x)\) 0,2 0,3 \(K\) 0,1
La probabilidad de que viajen menos de 13 pasajeros si viajan más de 11 es:
| \(x\) | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | 0,2 | 0,3 | \(K\) | 0,1 |
(A) 0,90(B) 0,80(C) 0,30(D) 0,70
Ver la solución
- Calcular \(K\)\(0{,}2 + 0{,}3 + K + 0{,}1 = 1 \Rightarrow K = 0{,}4\)
- Traducir a valores«Más de 11» es \(X \ge 12\). «Menos de 13» y «más de 11» a la vez es \(X = 12\).
- Probabilidad condicionada\(P(X < 13 \,/\, X > 11) = \dfrac{P(X = 12)}{P(X \ge 12)}\)\(P(X < 13 \,/\, X > 11) = \dfrac{0{,}4}{0{,}4 + 0{,}1} = 0{,}80\)
✓ Respuesta (B)
Final · 11-1-2023 · Pregunta 11 (cuestionario 22)La demanda semanal de gasolina \(X\) (en miles de litros) tiene función de distribución \(F(x) = \frac{1}{5}\,(6x - x^2)\) para \(0 \le x < 1\). ¿Qué probabilidad hay de que la demanda sea inferior a 0,7 si se sabe que ha sido superior a 0,2?
(A) 0,6640(B) 0,8320(C) 0,6956(D) 0,7420
Ver la solución
- Plantear la condicionada\(P(X < 0{,}7 \,/\, X > 0{,}2) = \dfrac{F(0{,}7) - F(0{,}2)}{1 - F(0{,}2)}\)
- Evaluar \(F\)\(F(0{,}7) = \dfrac{4{,}2 - 0{,}49}{5} = 0{,}742\)\(F(0{,}2) = \dfrac{1{,}2 - 0{,}04}{5} = 0{,}232\)
- Resultado\(\dfrac{0{,}742 - 0{,}232}{1 - 0{,}232} = \dfrac{0{,}510}{0{,}768} = 0{,}6640\)
- (D) 0,7420 es \(F(0{,}7)\), la probabilidad sin condicionar.
✓ Respuesta (A)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 10 (cuestionario 22)La duración de una batería \(X\) (en horas) tiene función de distribución \(F(x) = \dfrac{x^3}{27}\) para \(0 \le x \le 3\). El tiempo mínimo que debe durar una batería para estar entre el 30 % más duradero es:
(A) 2,45 horas(B) 2,80 horas(C) 2,66 horas(D) 3,50 horas
Ver la solución
- El 30 % más alto empieza donde queda el 70 % por debajo\(F(x) = 0{,}70\)
- Resolver\(\dfrac{x^3}{27} = 0{,}70 \Rightarrow x^3 = 18{,}9\)\(x = \sqrt[3]{18{,}9} = 2{,}66\) horas
- (A) \(F(2{,}45) = 0{,}545\): por encima queda el 45,5 %.
- (B) \(F(2{,}80) = 0{,}813\): por encima queda el 18,7 %.
- (D) 3,50 horas está fuera del recorrido de \(X\) (de 0 a 3).
✓ Respuesta (C)
Final · 11-1-2023 · Pregunta 15 (cuestionario 22)La variable \(X\) tiene esta distribución:\(x\) 0 2 4 6 \(P(X = x)\) \(k\) 0,1 0,1 0,4
Se define \(Y = (X - 2)/4\). El valor esperado y la varianza de \(Y\) son:
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x)\) | \(k\) | 0,1 | 0,1 | 0,4 |
(A) 0,25 y 0,4625(B) 0,25 y 13,45(C) 2,5 y 16,44(D) 0,2 y 0,296
Ver la solución
- Calcular \(k\)\(k + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}4 = 1 \Rightarrow k = 0{,}4\)
- Esperanza y varianza de \(X\)\(E[X] = 0 + 0{,}2 + 0{,}4 + 2{,}4 = 3\)\(E[X^2] = 0 + 0{,}4 + 1{,}6 + 14{,}4 = 16{,}4\)\(V(X) = 16{,}4 - 3^2 = 7{,}4\)
- Cambio de variable \(Y = \tfrac{1}{4}X - \tfrac{1}{2}\)\(E[Y] = \dfrac{3 - 2}{4} = 0{,}25\)\(V(Y) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 \cdot 7{,}4 = \dfrac{7{,}4}{16} = 0{,}4625\)
- La varianza se multiplica por \((1/4)^2\), no por \(1/4\); restar 2 no la cambia.
✓ Respuesta (A)
7
Tema 7
Distribuciones de probabilidad unidimensionales
Qué entra según el plan docente
- 7.1Distribuciones de probabilidad discretas: Bernoulli, binomial y Poisson
- 7.2Distribuciones de probabilidad continuas: exponencial y normal
- 7.3Convergencia: teorema central del límite
La idea del tema
Son modelos con nombre propio para situaciones que se repiten: la Bernoulli, la binomial y la Poisson para contar, y la exponencial y la normal para medir. Lo primero en cada pregunta es reconocer qué modelo es; después, aplicar su fórmula o la tabla de la normal.
Formulario
Notación: \(D(p)\) Bernoulli, \(B(n;\ p)\) binomial, \(\mathcal{P}(\lambda)\) Poisson, \(Exp(\lambda)\) exponencial y \(N(\mu;\ \sigma)\) normal, con la desviación típica como segundo parámetro.
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Formulario del Tema 7 en PDFDistribuciones de probabilidad · 3 páginas · plantilla Academia Nova
7.1Bernoulli y binomial
Bernoulli (dicotómica) \(D(p)\)\(P(x) = p^x\,q^{1-x},\ x = 0, 1\)
\(E[X] = p \qquad V(X) = p\,q\)
\(E[X] = p \qquad V(X) = p\,q\)
Binomial \(B(n;\ p)\)\(P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,q^{n-k}\)
Esperanza y varianza\(E[X] = n\,p \qquad V(X) = n\,p\,q\)
💡 Número de éxitos en \(n\) pruebas independientes con la misma \(p\)
7.1Poisson
Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\)\(P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}\)
Esperanza y varianza\(E[X] = V(X) = \lambda\)
Cambiar de intervalo\(\lambda\) proporcional: 0,5 por semana \(\to \lambda = 2\) en 4 semanas
💡 Número de sucesos en un intervalo, con media conocida
💬Traducir el enunciado (discretas)
«inferior a 2», «menos de 2»\(P(X < 2) = P(X \le 1)\)
«como máximo 1»\(P(X \le 1) = P(0) + P(1)\)
«al menos uno»\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)
7.2Uniforme continua (también sale en los finales)
Densidad \(U(a;\ b)\)\(f(x) = \dfrac{1}{b - a},\ \ a \le x \le b\)
Distribución\(F(x) = \dfrac{x - a}{b - a}\)
Esperanza\(E[X] = \dfrac{a + b}{2}\)
Varianza\(V(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}\)
7.2Exponencial
Densidad \(Exp(\lambda)\)\(f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x},\ \ x \ge 0\)
Distribución\(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)
Por encima\(P(X > x) = e^{-\lambda x}\)
Esperanza y varianza\(E[X] = \dfrac{1}{\lambda} \qquad V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}\)
Falta de memoria\(P(X > s + t \,/\, X > s) = P(X > t)\)
💡 Tiempo de espera hasta el siguiente suceso de una Poisson
7.2Normal
Tipificar \(N(\mu;\ \sigma)\)\(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0;\ 1)\)
Probabilidad\(P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)\)
Simetría\(P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)\)
Entre dos valores\(P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)\)
Percentil (destipificar)\(x = \mu + z\,\sigma\)
Cambio de variable\(a + bX \sim N(a + b\,\mu;\ |b|\,\sigma)\)
Suma de normales independientes\(X_1 + X_2 \sim N\left(\mu_1 + \mu_2;\ \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\right)\)
Valores de la tabla que más salen\(P(Z \le 1{,}2816) = 0{,}90\)
\(P(Z \le 1{,}645) = 0{,}95 \quad P(Z \le 1{,}96) = 0{,}975\)
\(P(Z \le 1{,}645) = 0{,}95 \quad P(Z \le 1{,}96) = 0{,}975\)
💡 En \(N(\mu;\ \sigma)\) va la desviación: varianza 1,44 → \(\sigma = 1{,}2\) · 400 g = 0,4 kg
7.3Teorema central del límite
Suma de \(n\) variables independientes\(S = \sum X_i \approx N\left(n\,\mu;\ \sigma\sqrt{n}\right)\)
Media de \(n\) variables independientes\(\bar{X} \approx N\left(\mu;\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
Cuántos cabe esperar\(N \cdot P\)
💡 Media y desviación de una unidad → total o media de muchas
Cómo aparece el Tema 7
Sale en los 7 finales que tenemos (2023 a 2026), normalmente en dos o tres preguntas. Lo que más se repite:
La normal
Es la que más sale: tipificar y buscar en la tabla, calcular cuántos cabe esperar en una remesa y hallar un percentil («el 90 % se casa antes de…»).
Sumas: teorema central del límite
La media y la desviación de una unidad, y la pregunta por el total de muchas (90 paquetes, 100 días, 1300 asistentes).
Las trampas típicas
Usar la varianza en lugar de la desviación, no pasar la media de Poisson al nuevo intervalo e incluir el extremo cuando dice «inferior a».
Final · 12-1-2026 · Pregunta 5 (cuestionario 44)El 20 % de los enfermos atendidos en urgencias tienen que ser hospitalizados. En una muestra de 6 enfermos, la probabilidad de que como máximo 1 tenga que ser ingresado es:
(A) 0,9842(B) 0,6554(C) 0,8857(D) 0,9011
Ver la solución
Datos
\(n = 6\)\(p = 0{,}2\)\(q = 0{,}8\)
- Identificar el modeloCada enfermo ingresa o no, de forma independiente y con la misma probabilidad: \(X \sim B(6;\ 0{,}2)\)
- Como máximo 1\(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\)
- Calcular cada término\(P(X = 0) = \dbinom{6}{0}\,0{,}2^0\,0{,}8^6 = 0{,}262144\)\(P(X = 1) = \dbinom{6}{1}\,0{,}2^1\,0{,}8^5\)\(P(X = 1) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}32768 = 0{,}393216\)
- Sumar\(P(X \le 1) = 0{,}262144 + 0{,}393216 = 0{,}6554\)
- (D) 0,9011 es \(P(X \le 2)\): suma también \(P(X = 2)\).
✓ Respuesta (B)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 11 (cuestionario 22)El número de averías en el tendido eléctrico de una región tiene una media de 0,5 averías por semana. La probabilidad de que durante un mes (4 semanas) haya menos averías que las esperadas es:
(A) 0,4060(B) 0,6767(C) 0,4334(D) 0,6288
Ver la solución
Datos
0,5 averías por semana4 semanas
- Identificar el modeloNúmero de sucesos en un intervalo de tiempo con media conocida: Poisson.
- Pasar la media a un mes\(\lambda = 0{,}5 \cdot 4 = 2 \quad\Rightarrow\quad X \sim \mathcal{P}(2)\)
- Menos de 2 (no incluye el 2)\(P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)\)\(P(X < 2) = e^{-2} + 2\,e^{-2}\)\(P(X < 2) = 0{,}1353 + 0{,}2707 = 0{,}4060\)
- (B) 0,6767 es \(P(X \le 2)\): incluye el 2, y «inferior» no lo incluye.
✓ Respuesta (A)
Final · 11-1-2023 · Pregunta 2 (cuestionario 22)La duración (en horas) de una batería se distribuye uniformemente en el intervalo \((a,\ 50)\). Si \(P(X < 45) = 0{,}75\), la duración esperada y la desviación típica son:
(A) 20,0 y 5,7735(B) 40,0 y 5,7735(C) 20,0 y 4,3301(D) 40,0 y 11,540
Ver la solución
Datos
\(X \sim U(a;\ 50)\)\(P(X < 45) = 0{,}75\)
- Hallar \(a\) con la función de distribución\(F(45) = \dfrac{45 - a}{50 - a} = 0{,}75\)\(45 - a = 37{,}5 - 0{,}75\,a \Rightarrow 7{,}5 = 0{,}25\,a \Rightarrow a = 30\)
- Esperanza\(E[X] = \dfrac{30 + 50}{2} = 40\) horas
- Desviación típica\(V(X) = \dfrac{(50 - 30)^2}{12} = \dfrac{400}{12} = 33{,}33\)\(\sigma = \sqrt{33{,}33} = 5{,}7735\) horas
- (A) y (C) dan una media de 20, que ni siquiera está en el intervalo.
✓ Respuesta (B)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 10 (cuestionario 44)Una envasadora pone en cada lata 2 kg de media con una desviación estándar de 400 g. Si el peso sigue una distribución normal, en una remesa de 200000 latas, ¿cuántas cabe esperar que pesen menos de 1,8 kg?
(A) 30850(B) 61708(C) 80000(D) 100000
Ver la solución
Datos
\(X \sim N(2;\ 0{,}4)\)400 g = 0,4 kg200000 latas
- Tipificar\(P(X < 1{,}8) = P\left(Z < \dfrac{1{,}8 - 2}{0{,}4}\right) = P(Z < -0{,}5)\)
- Simetría y tabla\(P(Z < -0{,}5) = 1 - P(Z < 0{,}5)\)\(P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}69146 = 0{,}30854\)
- Número esperado\(200000 \cdot 0{,}30854 = 61708\) latas
- (A) 30850 sería multiplicar por 100000; (D) 100000 es la mitad de las latas.
✓ Respuesta (B)
Final · 10-1-2024 · Pregunta 14 (cuestionario 44)La edad media al casarse por primera vez es de 26 años y sigue una distribución normal con desviación estándar de 4 años. ¿Por debajo de qué edad se casa el 90 % de las personas?
(A) 32,5 años(B) 31,1 años(C) 30,7 años(D) 29,3 años
Ver la solución
Datos
\(X \sim N(26;\ 4)\)\(P(X \le x) = 0{,}90\)
- Buscar \(z\) en la tabla\(P(Z \le z) = 0{,}90 \Rightarrow z = 1{,}2816\)
- Destipificar\(x = \mu + z\,\sigma = 26 + 1{,}2816 \cdot 4 = 31{,}1\) años
✓ Respuesta (B)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 3 (cuestionario 22)El peso de unos paquetes tiene media 2 kg y varianza 1,44 kg². Un estante soporta como máximo 175 kg. Si se colocan 90 paquetes, la probabilidad de que el estante soporte el peso total es, aproximadamente:
(A) 0,105(B) 0,330(C) 0,047(D) 0,018
Ver la solución
Datos
\(\mu = 2\) kg\(\sigma^2 = 1{,}44 \Rightarrow \sigma = 1{,}2\) kg\(n = 90\)
- Suma de 90 pesos: teorema central del límite\(E[S] = n\,\mu = 90 \cdot 2 = 180\) kg\(\sigma_S = \sigma\sqrt{n} = \sqrt{90 \cdot 1{,}44} = 11{,}38\) kg\(S \approx N(180;\ 11{,}38)\)
- El estante aguanta si \(S \le 175\)\(P(S \le 175) = P\left(Z \le \dfrac{175 - 180}{11{,}38}\right) = P(Z \le -0{,}44)\)\(P(Z \le -0{,}44) = 1 - 0{,}67003 = 0{,}330\)
- Te dan la varianza: para tipificar hay que usar la desviación.
✓ Respuesta (B)
Practica con exámenes reales
Enunciados de las pruebas parciales de los últimos cursos, pasados a la plantilla de Academia Nova. Ábrelos en el navegador o descárgalos en PDF. Los que tienen corrección en vídeo llevan, debajo de cada ejercicio corregido, el enlace y el código QR del vídeo de YouTube; al final de todos hay el acceso al curso completo.
PAC · prueba de evaluación continuada de un grupo concretoMuestra · modelo de examen sin fecha▶ Vídeo · con enlace y QR a la corrección en YouTube
Primer parcial · temas 1 a 4
PAC
PAC-1 · 12 de noviembre de 2024
▶Corrección en vídeo: ejercicio 1Completar la tablaMedia, mediana y modaHistogramaCV y ChebyshevTransformacionesTallo y hojasIndependenciaTipificar
PAC
PAC-1 · 8 de noviembre de 2024
Media de dos gruposFrecuencias acumuladasHistograma y cuantilesTransformacionesR-Commander y box-plotTabla de doble entradaTipos de datos
Muestra
Muestra · Primer parcial · Prueba A2_00
Regresión y correlaciónMedia y varianzaTransformacionesCV y tipificarAtípicosTabla conjuntaTallo y hojas
Muestra
Muestra · PAC
Moda y mediaHistogramaTallo y hojasSalida de R y box-plotAsimetríaIndependenciaRegresión
Muestra
Muestra · Primer parcial
Tallo y hojasCuartilesSalida de RCV y tipificar
Segundo parcial · temas 5 a 7
La segunda prueba se hace en el Campus Virtual: es un cuestionario tipo test, sobre todo de probabilidad y variables aleatorias.
Segunda prueba
Segunda prueba · 19 de diciembre de 2024
Función de distribuciónFunción de cuantía y densidadEsperanza y varianzaSucesos independientesRegresión con R
💡Cómo practicar: intenta cada examen con el formulario del tema al lado, en el tiempo de una prueba real, y justifica todos los cálculos como si fuera el cuadernillo: en la PAC una respuesta sin justificar no puntúa.
Exámenes finales de los últimos cursos
Enunciados de los finales de 2023 a 2026 con la plantilla de Academia Nova. El final entra todo el temario (temas 1 a 7) y es tipo test: cuatro opciones por pregunta. Hay varias versiones del mismo examen («cuestionario»), con las mismas preguntas en otro orden y los datos cambiados.
💡Cómo practicar: de momento, céntrate en las preguntas de los temas 1 a 4 (estadística descriptiva). Las de probabilidad y variables aleatorias son del segundo parcial.
R-Commander: menús, cuadros de diálogo y salidas
R-Commander es el programa de las prácticas de la asignatura: según el plan docente, las 15 horas de prácticas de problemas se hacen con él. En el examen no se usa el ordenador, pero en todos los finales y en casi todas las PAC aparece alguna salida de R que hay que saber leer: un resumen numérico, un tallo y hojas, una tabla o una recta de regresión. Aquí tienes, para cada salida, el camino en los menús (con la opción marcada en rojo), lo que hay que marcar en el cuadro de diálogo y la salida que obtienes.
Resumen numérico
La tabla de numSummary (media, desviación, cuartiles, n) sale en los 7 finales y en las PAC del 8-11-2024, la muestra de PAC y la muestra de primer parcial.
Tallo y hojas
El diagrama de R con «leaf unit» sale en 5 de los 7 finales y en las PAC del 5-11-2025, 12-11-2024 y 8-11-2024.
Box-plot y regresión
Dibujar el box-plot a partir de la salida de R y leer la recta (Estimate, R-squared) son preguntas fijas de PAC y finales.
1Cargar los datos
Datos›Importar datos›desde un archivo de Excel...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:PaisesEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
El conjunto de datos queda activo
Su nombre sale en Conjunto de datos, en la barra de arriba. Todo lo que pidas se hace con esos datos y el resultado aparece en la ventana Salida.
💡 Si la base de datos es un archivo .rda (como las de las prácticas del libro): Datos › Cargar conjunto de datos...
Menús de R-Commander en castellano. Las bases de datos de las prácticas son las del libro de la asignatura.
2Tipos de variables: numéricas y factores
R-Commander no habla de variables cuantitativas y cualitativas, sino de variables numéricas y factores. Antes de pedir una tabla o un gráfico hay que comprobar que cada variable tiene el tipo que le corresponde.
Cuantitativa → variable numéricaSus valores son números con los que se calcula: media, desviación, cuartiles…
Cualitativa → factorSus modalidades se llaman niveles. Con ellas se cuentan frecuencias
💡 Cada menú solo deja elegir las variables del tipo que necesita. Resúmenes numéricos, Histograma y Diagrama de caja piden variables numéricas; Distribución de frecuencias, Gráfica de barras y Gráfica de sectores piden factores. Si no hay ninguna del tipo que hace falta, la opción sale en gris.
Qué puedes hacer con cada tipo
Variables numéricascuantitativas · ejemplo: PIB per cápita de 35 países
Resúmenes numéricos
Estadísticos›Resúmenes›Resúmenes numéricos...
mean sd IQR skewness kurtosis 0% 25% 50% 75% 100% n 31520 23051.72 29000 1.203102 1.302058 4000 14500 25000 43500 102200 35
Media, desviación típica, rango intercuartílico, asimetría y cuartiles.
Histograma
Gráficas›Histograma...
Diagrama de caja
Gráficas›Diagrama de caja...
Tallo y hojas
Gráficas›Gráfica de tallos y hojas...
leaf unit: 1000 1 0* | 4 5 0. | 6788 9 1* | 1334 13 1. | 5777 17 2* | 0013 (4) 2. | 5669 ... HI: 102200
Factorescualitativas · ejemplo: renta e hijos de 200 familias
Distribución de frecuencias
Estadísticos›Resúmenes›Distribución de frecuencias...
counts: 0 1 2 3 74 66 49 11 percentages: 0 1 2 3 37.0 33.0 24.5 5.5
Frecuencias absolutas y relativas en % de Hijos (como factor).
Gráfica de barras
Gráficas›Gráfica de barras...
Gráfica de sectores
Gráficas›Gráfica de sectores...
Tabla de doble entrada
Estadísticos›Tablas de contingencia›Tabla de doble entrada...
Hijos Renta 0 1 2 3 Baja 60 30 10 0 Media 12 30 15 3 Alta 2 6 24 8
Dos factores a la vez (Tema 4).
Ver de qué tipo es cada variable
Estadísticos›Resúmenes›Conjunto de datos activo
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:FamiliasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Salida
Hijos Renta Min. :0.000 Alta : 40 1st Qu.:0.000 Baja :100 Median :1.000 Media: 60 Mean :0.985 3rd Qu.:2.000 Max. :3.000
💡 Hijos sale con mínimo, cuartiles, media y máximo: es una variable numérica. Renta sale con el número de familias de cada nivel: es un factor.
Pasar una variable numérica a factor
Hace falta, por ejemplo, para sacar la tabla de frecuencias de una variable discreta como Hijos (la Distribución de frecuencias solo acepta factores), o cuando una variable cualitativa viene codificada con números (1 = Baja, 2 = Media, 3 = Alta).
Datos›Modificar variables del conjunto de datos activo›Convertir variable numérica en factor...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:FamiliasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable y cómo se llamarán los niveles
Convertir variables numéricas en factores
Variables (seleccione una o más)
- Hijos
Niveles del factor
- Utilizar números
- Asignar nombres a los niveles
Nuevo nombre o prefijo para variables múltiples:<igual que las variables>
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
💡 Si los números son códigos (1, 2, 3), marca Asignar nombres a los niveles y escribe el nombre de cada uno: Baja, Media, Alta.
3
Salida del resumen del conjunto de datos
Hijos Renta 0:74 Alta : 40 1:66 Baja :100 2:49 Media: 60 3:11
💡 Ahora Hijos es un factor: ya no salen media ni cuartiles, sino cuántas familias tienen 0, 1, 2 y 3 hijos.
Variable cualitativa ordinal: ordenar los niveles
R-Commander ordena los niveles por orden alfabético (Alta, Baja, Media). Para una variable ordinal hay que darles su orden.
Datos›Modificar variables del conjunto de datos activo›Reordenar niveles de factor...
1
Elige el factor y marca que es ordenado
Reordenar niveles de factor
Factor (elegir uno)
- Hijos
- Renta
Nombre para el factor<igual al original>
- ✓Factor de tipo ordenado
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
2
Escribe el nuevo orden
Reordenar los niveles
Niveles antiguos
- Alta
- Baja
- Media
Nuevo orden
- 3
- 1
- 2
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida del resumen del conjunto de datos
Hijos Renta 0:74 Baja :100 1:66 Media: 60 2:49 Alta : 40 3:11
💡 Con el orden Baja, Media, Alta las tablas y los gráficos salen en el orden lógico, y las frecuencias acumuladas tienen sentido.
Datos›Modificar variables del conjunto de datos activo›Segmentar variable numérica...
Para una variable continua: la agrupa en intervalos y crea un factor con un nivel por intervalo.
Datos de la PAC del 5-11-2025 (ejercicio 6), con 200 familias para el ejemplo. Salidas obtenidas con R. Nombres de menús y cuadros de diálogo de la traducción oficial de R-Commander al castellano.
3Tabla de frecuencias
Estadísticos›Resúmenes›Distribución de frecuencias...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:FamiliasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable
Distribuciones de frecuencias
Variables (seleccione una o más)
- Hijos
- Renta
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida
counts: Hijos 0 1 2 3 74 66 49 11 percentages: Hijos 0 1 2 3 37.0 33.0 24.5 5.5
💡 counts son las frecuencias absolutas \(n_i\) y percentages, las relativas en % \(100\,f_i\).
Datos›Modificar variables del conjunto de datos activo›Segmentar variable numérica...
Para una variable numérica: primero se agrupa en intervalos y después se pide su distribución de frecuencias.
Datos de la PAC del 5-11-2025 (ejercicio 6), con 200 familias para el ejemplo. Salida obtenida con R.
4Resúmenes numéricos: media, desviación, cuartiles
Estadísticos›Resúmenes›Resúmenes numéricos...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:PaisesEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable y los estadísticos
Resúmenes numéricos
DatosEstadísticos
Variables (seleccione una o más)
- PIB
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
Resúmenes numéricos
DatosEstadísticos
Estadísticos
- ✓Media
- ✓Desviación típica
- Error típico de la media
- ✓Rango Intercuartílico
- Coeficiente de variación
- ✓Asimetría
- ✓Apuntamiento
- ✓Cuantiles: 0, .25, .5, .75, 1
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
💡 En Cuantiles añade los que pida el ejercicio: por ejemplo .15 o .6.
3
Salida
mean sd IQR skewness kurtosis 0% 25% 50% 75% 100% n 31520 23051.72 29000 1.203102 1.302058 4000 14500 25000 43500 102200 35
| Columna | Qué es |
|---|---|
mean · sd | Media \(\bar{x}\) y desviación típica \(S\) (entre \(n-1\)) |
IQR | Rango intercuartílico \(Q_3 - Q_1\) |
skewness · kurtosis | Asimetría y apuntamiento |
0% 25% 50% 75% 100% | Mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) y máximo |
n | Número de datos |
PIB per cápita de 35 países: valores del diagrama de tallo y hojas de la muestra de primer parcial. Salida obtenida con R.
5Histograma
Gráficas›Histograma...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:PaisesEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable
Histograma
DatosOpciones
Variable (elegir una)
- PIB
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida
PIB per cápita de 35 países (muestra de primer parcial).
6Diagrama de tallo y hojas
Gráficas›Gráfica de tallos y hojas...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:PaisesEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable
Gráfica de tallos y hojas
Variable (elegir una)
- PIB
Opciones
- ✓Eliminar valores atípicos
- ✓Mostrar niveles
- ✓Invertir hojas negativas
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida
1 | 2: represents 12000
leaf unit: 1000
n: 35
1 0* | 4
5 0. | 6788
9 1* | 1334
13 1. | 5777
17 2* | 0013
(4) 2. | 5669
3* |
14 3. | 57
12 4* | 1134
8 4. | 66
6 5* | 3
5. |
5 6* | 0
4 6. | 7
3 7* | 2
2 7. | 6
HI: 102200💡 leaf unit: lo que vale una hoja (aquí 1000). 1 | 2 = 12000. La primera columna son los niveles (acumulados desde cada extremo); el (4) marca la fila de la mediana. HI: valores atípicos por arriba.
Salida idéntica a la de la pregunta 1 de la muestra de primer parcial (PIB per cápita, Eurostat 2019).
7Diagrama de caja (box-plot)
Gráficas›Diagrama de caja...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:PaisesEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable
Diagrama de caja
DatosOpciones
Variable (elegir una)
- PIB
Identificar atípicos
- Automáticamente
- Con el ratón
- No
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
💡 Para comparar grupos (un box-plot por grupo), en el diálogo pulsa Gráfica según: y elige la variable de grupos.
3
Salida
Caja\(Q_1 = 14500\)
\(Me = 25000\)
\(Q_3 = 43500\)
\(Me = 25000\)
\(Q_3 = 43500\)
Límite superior de atípicos\(43500 + 1{,}5 \cdot 29000 = 87000\)
Atípico (país 35)\(102200 > 87000\)
Bigote superiorLlega al mayor dato no atípico: 76000
PIB per cápita de 35 países (muestra de primer parcial). Valores calculados con R.
8Gráfica de barras y de sectores
Gráficas›Gráfica de barras...
Gráficas›Gráfica de sectores...
1
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R Commander
Conjunto de datos:FamiliasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable
Gráfica de barras
DatosOpciones
Variable (elegir una)
- Hijos
- Renta
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida
Datos de la PAC del 5-11-2025 (ejercicio 6), con 200 familias para el ejemplo.
9Tabla de doble entrada
Estadísticos›Tablas de contingencia›Tabla de doble entrada...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:FamiliasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige las variables y los porcentajes
Tabla de doble entrada
DatosEstadísticos
Variable de fila (elegir una)
- Hijos
- Renta
Variable de columna (elegir una)
- Hijos
- Renta
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
Tabla de doble entrada
DatosEstadísticos
Calcular porcentajes
- Porcentajes por filas
- Porcentajes por columnas
- Porcentajes totales
- Sin porcentajes
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida
Frequency table:
Hijos
Renta 0 1 2 3
Baja 60 30 10 0
Media 12 30 15 3
Alta 2 6 24 8
Row percentages:
Hijos
Renta 0 1 2 3 Total Count
Baja 60 30 10 0 100 100
Media 20 50 25 5 100 60
Alta 5 15 60 20 100 40| Opción | Qué sale |
|---|---|
| Sin porcentajes | Frecuencias absolutas conjuntas \(n_{ij}\) |
| Porcentajes totales | Relativas conjuntas \(f_{ij}\): toda la tabla suma 100 % |
| Porcentajes por filas | Columna condicionada a cada fila: cada fila suma 100 % |
| Porcentajes por columnas | Fila condicionada a cada columna: cada columna suma 100 % |
Porcentajes por filas de la PAC del 5-11-2025 (ejercicio 6), con 200 familias para el ejemplo. Salida obtenida con R.
10Barras apiladas (por grupos)
Gráficas›Gráfica de barras...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:FamiliasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable, los grupos y el estilo
Gráfica de barras
DatosOpciones
Variable (elegir una)
- Hijos
- Renta
Gráfica según: Hijos
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
Gráfica de barras
DatosOpciones
Escala de los ejes
- Recuentos de frecuencias
- Porcentajes
Style of Bars
- Dividido (apilado)
- Lado a lado (paralelo)
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
💡 Con Porcentajes y Dividido (apilado), cada barra suma 100 %: son las barras apiladas al 100 %.
3
Salida
💡 Si todas las barras tuvieran los trozos iguales, las variables serían independientes. Aquí cambian mucho de una renta a otra: hay dependencia.
Sale en la PAC del 5-11-2025 (ejercicio 6): barras apiladas al 100 % del número de hijos según la renta.
11Correlación, diagrama de dispersión y recta de regresión
Estadísticos›Ajuste de modelos›Regresión lineal...
1
Abre el menú
R Commander
Conjunto de datos:EmpresasEditar conjunto de datosVisualizar conjunto de datosModelo:<No hay modelo activo>
R ScriptSalida
2
Elige la variable explicada y la explicativa
Regresión lineal
Introducir un nombre para el modelo:RegModel.1
Variable explicada (elegir una)
- Gastos
- Ventas
Variables explicativas (elegir una o más)
- Gastos
- Ventas
AyudaReiniciarAplicarCancelarAceptar
3
Salida
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 19,60 0.115110 170.27 <2e-16 ***
Gastos 0,354 0.006709 52.76 <2e-16 ***
---
Residual standard error: 0.2787 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9410, Adjusted R-squared: 0.9855Estimate de (Intercept)\(a = 19{,}60\)
Estimate de la variable\(b = 0{,}354\)
Multiple R-squared\(R^2 = 0{,}9410\)
Recta\(\hat{y} = 19{,}60 + 0{,}354\,x\)
⚠️ Trampa del final de enero de 2026: \(R^2\) es lo que la recta explica de \(Y\) (las ventas), no al revés.
Estadísticos›Resúmenes›Matriz de correlaciones...
Gráficas›Diagrama de dispersión...
En el diagrama de dispersión, marca Línea de mínimos cuadrados para dibujar la recta.
Salida de la pregunta 6 del final del 12-1-2026 (cuestionario 44).
☰Chuleta: dónde está cada cosa
| Para obtener | Menú de R-Commander |
|---|---|
| Cargar una base de datos | Datos › Importar datos · Datos › Cargar conjunto de datos... |
| Ver el tipo de cada variable | Estadísticos › Resúmenes › Conjunto de datos activo |
| Pasar una variable numérica a factor | Datos › Modificar variables del conjunto de datos activo › Convertir variable numérica en factor... |
| Ordenar los niveles (ordinal) | Datos › Modificar variables del conjunto de datos activo › Reordenar niveles de factor... |
| Tabla de frecuencias | Estadísticos › Resúmenes › Distribución de frecuencias... |
| Agrupar en intervalos | Datos › Modificar variables del conjunto de datos activo › Segmentar variable numérica... |
| Media, desviación, cuartiles, asimetría | Estadísticos › Resúmenes › Resúmenes numéricos... |
| Histograma | Gráficas › Histograma... |
| Tallo y hojas | Gráficas › Gráfica de tallos y hojas... |
| Box-plot | Gráficas › Diagrama de caja... |
| Barras · sectores | Gráficas › Gráfica de barras... · Gráfica de sectores... |
| Tabla de doble entrada | Estadísticos › Tablas de contingencia › Tabla de doble entrada... |
| Barras apiladas | Gráficas › Gráfica de barras... (Gráfica según + Dividido) |
| Matriz de correlaciones | Estadísticos › Resúmenes › Matriz de correlaciones... |
| Diagrama de dispersión | Gráficas › Diagrama de dispersión... |
| Recta de regresión | Estadísticos › Ajuste de modelos › Regresión lineal... |
Nombres de los menús de R-Commander en castellano. Si tu R-Commander está en inglés, el orden de los menús es el mismo.
Calculadora: distribuciones resueltas en vídeo
Con la Casio ClassWiz fx-570/991SP X II, en el modo Distribución, las preguntas de binomial, Poisson y normal se resuelven en unos segundos y sin tablas. Aquí tienes las 10 preguntas de los finales que hemos resuelto en vídeo con la calculadora: el enunciado, los datos que hay que introducir, el vídeo, cada pulsación paso a paso y la solución con tablas.
EntrarMENU y 7: DistribuciónDP = probabilidad de un valor · DA = acumulada
DA Binomialx, N, p → \(P(X \le x)\)Para \(P(X \ge k)\): \(1 - \text{DA}(k-1)\)
DA Poissonx, λ → \(P(X \le x)\)
DA NormalInf, Sup, σ, μCola abierta: Inf = −1×10⁹⁹ o Sup = 1×10⁹⁹
Normal InversaÁrea, σ, μ → xEl área es siempre la cola izquierda: \(P(X \le x)\)
Suma de n variables (TCL)μ → \(n\,\mu\) · σ → \(\sigma\sqrt{n}\)Se puede escribir la expresión, por ejemplo 1,2√90
💡 La calculadora no redondea \(z\) a dos decimales, como las tablas. Por eso a veces difiere en la 3.ª o 4.ª cifra, pero la opción correcta sigue siendo la más cercana.
1Binomial \(B(n;\ p)\) · 1 pregunta
Final · 12-1-2026 · Pregunta 5 (cuestionario 44)
El 20 % de los enfermos atendidos en urgencias tienen que ser hospitalizados. En una muestra de 6 enfermos, la probabilidad de que como máximo 1 tenga que ser ingresado es:
(A) 0,9842(B) 0,6554(C) 0,8857(D) 0,9011
En la calculadoraDA Binomial
x = 1N = 6p = 0,2
P = 0,65536
▶ Vídeo: resuelto con la calculadora
Paso a paso en la calculadora
Ver la solución con tablas
- Modelo\(X \sim B(6;\ 0{,}2)\)
- Como máximo 1\(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\)
- Calcular\(P(X = 0) = \dbinom{6}{0}\,0{,}2^0\,0{,}8^6 = 0{,}262144\)\(P(X = 1) = \dbinom{6}{1}\,0{,}2^1\,0{,}8^5 = 0{,}393216\)\(P(X \le 1) = 0{,}262144 + 0{,}393216 = 0{,}6554\)
- (D) 0,9011 es \(P(X \le 2)\): suma también \(P(X = 2)\).
✓ Respuesta (B)
2Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) · 1 pregunta
Final · 12-1-2026 · Pregunta 11 (cuestionario 22)
El número de averías en el tendido eléctrico de una región tiene una media de 0,5 averías por semana. La probabilidad de que durante un mes (4 semanas) haya menos averías que las esperadas es:
(A) 0,4060(B) 0,6767(C) 0,4334(D) 0,6288
En la calculadoraDA Poisson
x = 1λ = 2 (0,5 · 4)
P = 0,4060058497
«Inferior a 2» es \(P(X \le 1)\): por eso x = 1.
▶ Vídeo: resuelto con la calculadora
Paso a paso en la calculadora
Ver la solución con tablas
- Pasar la media a un mes\(\lambda = 0{,}5 \cdot 4 = 2 \quad\Rightarrow\quad X \sim \mathcal{P}(2)\)
- Menos de 2 (no incluye el 2)\(P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-2} + 2\,e^{-2}\)\(P(X < 2) = 0{,}1353 + 0{,}2707 = 0{,}4060\)
- (B) 0,6767 es \(P(X \le 2)\): incluye el 2, y «inferior» no lo incluye.
✓ Respuesta (A)
3Normal \(N(\mu;\ \sigma)\) · 3 preguntas
Final · 12-1-2026 · Pregunta 10 (cuestionario 44)
Una envasadora pone en cada lata 2 kg de media con una desviación estándar de 400 g. Si el peso sigue una distribución normal, en una remesa de 200000 latas, ¿cuántas cabe esperar que pesen menos de 1,8 kg?
(A) 30850(B) 61708(C) 80000(D) 100000
En la calculadoraDA Normal
Inf = −1×10⁹⁹Sup = 1,8σ = 0,4μ = 2
P = 0,3085375387 → × 200000 = 61707,5 ≈ 61708
Ojo: 400 g = 0,4 kg.
▶ Vídeo: resuelto con la calculadora
Paso a paso en la calculadora
Ver la solución con tablas
- Tipificar\(P(X < 1{,}8) = P\left(Z < \dfrac{1{,}8 - 2}{0{,}4}\right) = P(Z < -0{,}5)\)
- Simetría y tabla\(P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}69146 = 0{,}30854\)
- Número esperado\(200000 \cdot 0{,}30854 = 61708\) latas
- (A) 30850 sería multiplicar por 100000; (D) 100000 es la mitad de las latas.
✓ Respuesta (B)
Final · 10-1-2025 · Pregunta 16 (cuestionario 77)
Unos envases se llenan con 1,5 litros de media y desviación estándar de 0,04 litros, con distribución normal. Son aceptables los que tienen entre 1,44 y 1,56 litros. En un lote de 300 envases, ¿cuántos cabe esperar que NO sean aceptables?
(A) 20(B) 45(C) 35(D) 40
En la calculadoraDA Normal
Inf = 1,44Sup = 1,56σ = 0,04μ = 1,5
P = 0,8663855975 → 300 · (1 − Ans) = 40,08 ≈ 40
▶ Vídeo: resuelto con la calculadora
Paso a paso en la calculadora
Ver la solución con tablas
- Probabilidad de que sea aceptable\(P(1{,}44 \le X \le 1{,}56) = P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)\)\(= 2 \cdot 0{,}93319 - 1 = 0{,}86638\)
- No aceptables\(1 - 0{,}86638 = 0{,}13362\)\(300 \cdot 0{,}13362 = 40{,}09 \approx 40\) envases
✓ Respuesta (D)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 5 (cuestionario 22)
Las ventas diarias siguen una normal de media 500 unidades y desviación típica 100. La empresa aplica un descuento del 5 % si se venden menos de 450, del 7 % entre 450 y 600 y del 10 % si se venden más de 600. El descuento esperado es igual a:
(A) 7,33 %(B) 6,86 %(C) 8,05 %(D) 6,15 %
En la calculadoraDA Normal (tres veces)
σ = 100μ = 500(−1×10⁹⁹; 450)(450; 600)(600; 1×10⁹⁹)
0,3085 · 0,5328 · 0,1587 → E[D] = 6,86 %
Con las tres probabilidades se calcula la esperanza del descuento.
▶ Vídeo: resuelto con la calculadora
Paso a paso en la calculadora
Ver la solución con tablas
- Probabilidad de cada tramo\(P(X < 450) = P(Z < -0{,}5) = 0{,}30854\)\(P(X > 600) = P(Z > 1) = 0{,}15866\)\(P(450 \le X \le 600) = 1 - 0{,}30854 - 0{,}15866 = 0{,}53280\)
- Descuento esperado\(E[D] = 5 \cdot 0{,}30854 + 7 \cdot 0{,}53280 + 10 \cdot 0{,}15866\)\(E[D] = 1{,}5427 + 3{,}7296 + 1{,}5866 = 6{,}86\,\%\)
✓ Respuesta (B)
4Normal inversa percentiles · 1 pregunta
Final · 10-1-2025 · Pregunta 9 (cuestionario 00)
La demanda mensual de agua para riego (en miles de litros) sigue una normal de media 250 y desviación típica 50. ¿Cuánta agua hay que tener en el tanque cada mes para que la probabilidad de satisfacer la demanda sea 0,94?
(A) 312(B) 328(C) 293(D) 356
En la calculadoraNormal Inversa
Área = 0,94σ = 50μ = 250
x = 327,7386797 ≈ 328
El área es siempre la cola izquierda: \(P(X \le x)\).
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Paso a paso en la calculadora
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- Buscar \(z\) en la tabla\(P(Z \le 1{,}55) = 0{,}93943 \qquad P(Z \le 1{,}56) = 0{,}94062 \;\Rightarrow\; z \approx 1{,}555\)
- Destipificar\(c = \mu + z\,\sigma = 250 + 1{,}555 \cdot 50 = 327{,}75 \approx 328\)
✓ Respuesta (B)
5Teorema central del límite sumas de muchas variables · 4 preguntas
Final · 12-1-2026 · Pregunta 14 (cuestionario 44)
Una empresa pierde de media 20 minutos de trabajo al día, con desviación típica de 5 minutos. Si las pérdidas se acumulan, la probabilidad de que en 100 días se pierdan entre 32 y 35 horas es:
(A) 0,63267(B) 0,44356(C) 0,73334(D) 0,92245
En la calculadoraDA Normal
Inf = 1920Sup = 2100σ = 50μ = 2000
P = 0,9224505764
Horas a minutos: 32 h = 1920 min y 35 h = 2100 min.
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- Suma de 100 días: TCL\(E[S] = 100 \cdot 20 = 2000 \qquad \sigma_S = 5\sqrt{100} = 50\)\(S \approx N(2000;\ 50)\)
- Tipificar\(P(1920 < S < 2100) = P(-1{,}6 < Z < 2)\)\(= 0{,}97725 - 0{,}05480 = 0{,}92245\)
✓ Respuesta (D)
Final · 12-1-2026 · Pregunta 3 (cuestionario 22)
El peso de unos paquetes tiene media 2 kg y varianza 1,44 kg². Un estante soporta como máximo 175 kg. Si se colocan 90 paquetes, la probabilidad de que el estante soporte el peso total es, aproximadamente:
(A) 0,105(B) 0,330(C) 0,047(D) 0,018
En la calculadoraDA Normal
Inf = −1×10⁹⁹Sup = 175σ = 1,2√90μ = 180
P = 0,3302564177
σ = √1,44 = 1,2. La calculadora acepta la expresión 1,2√90.
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- Suma de 90 pesos: TCL\(E[S] = 90 \cdot 2 = 180 \qquad \sigma_S = \sqrt{90 \cdot 1{,}44} = 11{,}38\)
- Tipificar\(P(S \le 175) = P(Z \le -0{,}44) = 1 - 0{,}67003 = 0{,}330\)
- Te dan la varianza: para tipificar hay que usar la desviación.
✓ Respuesta (B)
Final · 10-1-2025 · Pregunta 17 (cuestionario 77)
Cada asistente a un acto benéfico dona de media 50 € con desviación estándar de 120 €. Si asisten 1300 personas independientes, la probabilidad de recaudar más de 68000 € es, aproximadamente:
(A) 0,123(B) 0,010(C) 0,245(D) 0,053
En la calculadoraDA Normal
Inf = 68000Sup = 1×10⁹⁹σ = 120√1300μ = 65000
P = 0,2440370466
La calculadora no redondea z y da 0,2440; con tablas sale 0,245. Misma opción.
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- Suma de 1300 donaciones: TCL\(E[S] = 1300 \cdot 50 = 65000 \qquad \sigma_S = 120\sqrt{1300} = 4326{,}66\)
- Tipificar\(P(S > 68000) = P(Z > 0{,}69) = 1 - 0{,}75490 = 0{,}2451\)
✓ Respuesta (C)
Final · 10-1-2025 · Pregunta 10 (cuestionario 00)
Las pérdidas diarias de tiempo de trabajo (en minutos) siguen una uniforme en (10, 20). Si son independientes y se acumulan, la probabilidad de que en 70 días se pierdan entre 17 y 18 horas es, aproximadamente:
(A) 0,785(B) 0,895(C) 0,107(D) 0,413
En la calculadoraDA Normal
Inf = 1020Sup = 1080σ = √(70×100÷12)μ = 1050
P = 0,7858069743
La media (15) y la varianza (100/12) de la uniforme se calculan a mano. La calculadora da 0,7858; con tablas, 0,785.
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- Media y varianza de la uniforme\(E[X_i] = \dfrac{10 + 20}{2} = 15 \qquad V(X_i) = \dfrac{(20 - 10)^2}{12} = 8{,}333\)
- Suma de 70 días: TCL\(E[S] = 70 \cdot 15 = 1050 \qquad \sigma_S = \sqrt{70 \cdot 8{,}333} = 24{,}15\)
- Tipificar (17 h = 1020 min, 18 h = 1080 min)\(P(1020 < S < 1080) = P(-1{,}24 < Z < 1{,}24) = 2 \cdot 0{,}89251 - 1 = 0{,}785\)
✓ Respuesta (A)
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